11.2平面基本事实与推论 教学设计

11.2 平面的基本事实与推论 【教学目标】 1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用 2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换 3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力 【教学重点】平面的基本事实和推论 【教学难点】 符号语言、文字语言、图形语言之间的转换 一、情境引入： 用短片抽象本节学习的问题：如何把一个平面固定在空间中？ 二、新知探究： 在初中几何中，观察得到了如下的点与直线的基本事实： （1）连接两点的线中，线段最短； （2）过两点有一条直线，并且只有一条直线. 结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。 问题1：如何把一个平面固定在空间中，至少需要几个点？ 做实验，验证一个点，两个点，三个点，四个点--总结概念 基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 图形表示： 总结：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面” (2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示. (3)如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有： (4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面. 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面 基本事实2： 如何固定置物架在墙壁上，抽象数学问题，固定一条直线在平面内，至少需要几个点？ 文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A∈α，B∈α AB α 图形表示： 作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面 注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上. 基本事实3： 文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：A∈α，且A∈β α∩β＝m，且A∈m 图形表示： 注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有； （2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示； 作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上 问题2：除了用点固定平面的位置外，是否可以用直线固定平面的位置？ 做实验发现： （1）一条直线与直线外一点 （2）两条相交直线 （3）两条平行直线 总结得出推论： 推论1： 文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 符号表示：A m 存在唯一的平面α，使A∈α，且m α 图形表示： 注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的， (2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面. 推论2： 文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 符号表示：m∩n＝A 存在唯一的平面α，使m α，且n α 图形表示： 推论3： 文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面 符号表示：m∥n 存在唯一的平面α，使m α，且n α 图形表示： 注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面” ... ...