广东省广州市2012-2014年中考数学试题分类解析汇编专题6：压轴题

广州市2012-2014年中考数学试题分类解析汇编 专题6：压轴题 一、选择题 1．（3分）（2014?广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（　　）【出处：21教育名师】 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．21世纪教育网 分析： 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④． 解答： 证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ②∵△BCG≌△DCE， ∴∠CBG=∠CDE， 又∠CBG+∠BGC=90°， ∴∠CDE+∠DGH=90°， ∴∠DHG=90°， ∴BH⊥DE； ③∵四边形GCEF是正方形， ∴GF∥CE， ∴=， ∴=是错误的． ④∵DC∥EF， ∴∠GDO=∠OEF， ∵∠GOD=∠FOE， ∴△OGD∽△OFE， ∴=（）2=（）2=， ∴（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．故应选B 点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质． 　 二、解答题 1．（14分）（2014?广州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．21教育名师原创作品 （1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值； （2）试用x表示，并写出x的取值范围； （3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值． 考点： 四边形综合题．21世纪教育网 分析： （1）利用梯形中位线的性质，证明△BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x的值； （2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG与BE的比，然后利用=求解； （3）依题意作出图形，当△BFE的外接圆与AD相切时，线段BC的中点O成为圆心．作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形△OMP∽△ADH，利用比例关系列方程求出x的值，进而求出的值． 解答： 解：（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时， 如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N． 由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=BC． 由轴对称性质，可知BF=BC， ∴BN=BF， ∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°， ∴△BFC为等边三角形． ∴CF=BC=4，∠FCB=60°， ∴∠ECF=30°． 设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=CF=2，CF⊥BE． 在Rt△CEG中，x=CE===． ∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为． （2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF． ∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°， ∴∠GEC=∠CBE，又∵∠CGE=∠ECB=90°， ∴Rt△BCE∽Rt△CGE， ∴，∴CE2=EG?BE ① 同理可得：BC2=BG?BE ② ①÷②得：==． ∴====． ∴=（0＜x≤5）． （3）当△BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示． 设圆心为O，半径为r，则r=BE=． 设切点为P，连接OP，则OP⊥AD，OP=r=． 过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N， 则OM为梯形ABED的中位线，∴OM=（AB+DE）=（3+5﹣x）=（8﹣x）． 过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABCH为矩形， ∴AH=BC=4，CH=AB=3，∴DH=CD﹣CH=2． 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD===2． ∵MN∥CD， ∴∠ADH=∠OMP，又∵∠AHD=∠OPM=90°， ∴△OMP∽△ADH， ∴，即， 化简得：16﹣2x=， 两边平方后，整理 ... ...