2023年全国高中数学联合竞赛(浙江省六校2022-2023学年下学期第四次联考)试题（PDF版含解析）

2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023 年全国高中数学联合竞赛 加试（模拟 4）参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一．（本题满分 40 分）如图，DABC的外接圆为 ， P为 BC边上一点， 满足 APB= BAC．过点 A作 的切线交DABP的外接圆于点Q，Q关于 AB 中点的对称点为 T， AT交 QP于点D． 1 1 1 证明： + > ．（答题时请将图画在答卷纸上） AB AC CD 证明：由于四边形 AQBT 为平行四边形，所以 DAC = BAC- BAT = BAC- ABQ= APB- APQ= QPB= DPC 进而 D,P, A,C四点共圆． …………10分 因此 QPB= QAB= ACB，即 AC∥PQ，于是知四边形 APDC为等腰 梯形，得 AP=CD． …………20分 1 1 1 AB+ AC 1 要证 + > ，只需证 > ．注意到DABP∽DCBA，所 AB AC CD AB ×AC AP 1 CB AB AC 以 ，证毕． …………40分 AP AB AC AB AC 1 二．（本题满分 40 分）设 c是非负整数．求所有的无穷正整数数列{an}， 满足：对任意正整数 n，恰存在 an 个正整数 i使得 ai an 1 c． 2 三．（本题满分 50 分）设正整数 n 6，图 G中有 n个顶点，每个顶点的度 数均至少为 3．设C1,C2 , ,Ck是 G中所有的圈，求gcd(C1 , C2 , , Ck )的所有可 能值，其中 C 表示圈 C中顶点的个数． 四．（本题满分 50 分）对非负整数 a,b，定义位异或运算 a b，是唯一的 非负整数，使得对每个非负整数 k， a b a b 2k 2k 2k 都是偶数．例如：9 10 10012 10102 00112 3． 求所有正整数 a，使得对任意整数 x y 0，都有 x ax y ay． 3 4 5 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023 年全国高中数学联合竞赛 加试试题（模拟 4） 一．（本题满分 40 分）如图，DABC的外接圆为 ， P为 BC边上一点， 满足 APB= BAC．过点 A作 的切线交DABP的外接圆于点Q，Q关于 AB 中点的对称点为 T， AT交 QP于点D． 1 1 1 证明： + > ．（答题时请将图画在答卷纸上） AB AC CD 二．（本题满分 40 分）设 c是非负整数．求所有的无穷正整数数列{an}， 满足：对任意正整数 n，恰存在 an 个正整数 i使得 ai an 1 c． 三．（本题满分 50 分）设正整数 n 6，图 G中有 n个顶点，每个顶点的度 数均至少为 3．设C1,C2 , ,Ck是 G中所有的圈，求gcd(C1 , C2 , , Ck )的所有可 能值，其中 C 表示圈 C中顶点的个数． 四．（本题满分 50 分）对非负整数 a,b，定义位异或运算 a b，是唯一的 非负整数，使得对每个非负整数 k， a b a b 2k k 2 2k 都是偶数．例如：9 10 10012 10102 00112 3． 求所有正整数 a，使得对任意整数 x y 0，都有 x ax y ay． 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023年全国高中数学联合竞赛 一试（模拟 4）参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8分和 0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第 10、 11小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 1．已知 sin( ) 1 , cos sin 1 ，则 cos(2 2 )的值为 ． 3 6 1 答案： ． 9 解：因为 sin( ) sin cos cos sin 1 ，而 cos sin 1 ，因此 sin cos 1 3 2，6 则 sin( ) sin cos 2 cos sin ，所以 3 cos(2 2 ) cos 2( ) 1 2sin2 ( ) 1 2 (2 1 )2 ． 3 9 2．等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S4 5,S6 21S2 ，则 S8 ． 答案： ... ...