(
课件网) 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 华师版版九年级上册数学 1.了解坡度、坡角的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 观察与思考 导入新课 α l h i= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 讲授新课 与坡度、坡角有关的实际问题 一 知识回顾 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. α l h i= h : l 坡面 水平面 显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度. 2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_____. α l h 30 1 : 1 练一练 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°） 典例精析 分析：由坡度 i 会想到产生铅垂高度，即分别过点 B、C 作 AD 的垂线； 垂线 BE、CF 将梯形分割成 Rt△ABE，Rt△CFD 和矩形 BEFC，则 AD = AE + EF + FD， EF = BC = 6 m，AE、DF 可结合坡度，通过解 Rt△ABE 和 Rt△CDF 求出； 斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF. 解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，由题意可知 BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中 在 Rt△DCF 中，同理可得 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得 (2) 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4，由计算器可算得 α = 22°. = 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m 答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. 铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求：底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)； 解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠B = β. 练一练 A D B C i2 = 1 : 2.5 5.8 9.8 α i1 = 1 : 1.6 β F E ∴AE = 1.6×5.8 = 9.28 (m)，DF = 2.5×5.8 = 14.5 (m). ∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m). 答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°. A D B C i2 = 1 : 2.5 5.8 9.8 α i1 = 1 : 1.6 β F E h α α l ) l h ) 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ 探究归纳 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1. h1 α1 l1 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 方法归纳 h1 α1 l1 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 ... ...
