高考专题训练(二十二) 坐标系与参数方程 A级———基础巩固组 一、填空题 1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3 ，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为_____． 解析 依题意知，ρ＝2，θ＝－. 答案 2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数 方程是(α为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为_____． 解析 依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0， 所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0. 化简得ρ＝2sinθ. 答案 ρ＝2sinθ 3．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为_____． 解析 由题意得S△AOB＝×3×4×sin＝×3×4×sin＝3. 答案 3 4．直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝_____. 解析 直线y＝xtanα，圆：(x－4)2＋y2＝4，如图，sinα＝＝，∴α＝或. 答案 或 5．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4 cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____． 解析 将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋4x， 即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案 x2＋y2－4x－2y＝0 6．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝_____. 解析 消去参数t得抛物线C的标准方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)， 所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意得r＝＝. 答案 7．已知曲线C：(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_____． 解析 曲线C的普通方程为x2＋y2＝2，由圆的几何性质知，切线l与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l的斜率为－1，从而l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y＝2，化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，化简得ρsin＝. 答案 ρsin＝ 8．(2014·广东卷)在极坐标系中， 曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_____． 解析 由ρsin2θ＝cosθ可得ρ2sin2θ＝ρcosθ，因此y2＝x， 即曲线C1的直角坐标方程为y2＝x； 由ρsinθ＝1可得曲线C2的直角坐标方程为y＝1. 解方程组可得 所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)． 答案 (1,1) 9．(2014·湖北卷)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为_____． 解析 由曲线C1的参数方程 得y＝x(x≥0)，① 由曲线C2的极坐标方程为ρ＝2， 可得方程x2＋y2＝4，② 由①②联立解得 故C1与C2交点的直角坐标为(，1)． 答案 (，1) 三、解答题 10．(2014·福建卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)． (1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 11．已知直线l是过点P(－1,2)，方向向量为n＝(－1，)的直线，圆方程ρ＝2cos. (1)求直线l的参数方程； (2)设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值． 解 (1)∵n＝(－1，)，∴直线的倾斜角α＝. ∴直线的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)． (2)∵ρ＝2＝cosθ－sinθ， ∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ. ∴x2＋y2－x＋y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋2)t＋6＋2＝0. ∴|t1t2|＝6＋2，即|PM|·|PN|＝6＋2. B级———能力 ... ...
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