抽象函数问题课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册(共16张PPT)

(课件网) 第三章 函数 抽象函数问题 1.了解函数模型的实际背景. 2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质. 例1：设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问当－3≤x≤3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最 值；如果没有，说出理由. (1)证明：令 x＝y＝0， 则有 f(0)＝2f(0) f(0)＝0. 令 y＝－x，则有 f(0)＝f(x)＋f(－x)， 即 f(－x)＝－f(x).∴f(x)是奇函数. (2)解：当－3≤x≤3 时，f(x)有最值，理由如下： 任取 x10 f(x2－x1)<0. 且 f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0. ∴f(x1)>f(x2).∴y＝f(x)在 R 上为减函数. 因此 f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值. f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. ∴函数 f(x)的最大值为 6，最小值为－6. 【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如 下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉 函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号 “f ”. (2)解决f(x＋y)＝f(x)＋f(y)型抽象函数的一般步骤为： f(0)＝0 f(x) 是奇函数 f(x－y)＝f(x)－f(y) 单调性. (3)判断单调性小技巧：设x10 f(x2－x1)<0 f(x2)＝f(x2 －x1 ＋x1)＝f(x2 －x1)＋f(x1)1时 f(x)>0， f(2)＝1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式 f(2x2－1)<2. 例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b). (1)求证：f(0)＝1； (2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求实数 x 的取值范围. ＞0. (1)证明：令 a＝b＝0，则 f(0)＝[f(0)]2. ∵f(0)≠0，∴f(0)＝1. (2)证明：∵当 x＜0 时，－x＞0， ∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1. ∴f(x)＝ 1 f(－x) 又∵当 x≥0 时，f(x)≥1＞0. ∴x∈R 时，恒有 f(x)＞0. ＝f(x2－x1)＞1. (3)证明：设 x1＜x2，则 x2－x1＞0. ∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1). ∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1. 又∵f(x1)＞0，∴ f(x2) f(x1) ∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数. (4)解：由 f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1， 得 f(3x－x2)＞f(0). ∵f(x)是 R 上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3. ∴实数 x 的取值范围是{x|0x2，x1－x2>0，则 f(x1－x2)>1， f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数f(x)是增函数. ... ...