3.3 幂函数（精讲）-【新教材精创】2023-2024学年高一数学必修第一册 精品辅导讲义（人教A版2019 必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台 3.3 幂函数 重难点 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 重难点题型突破1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数的图像过点，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】解：设，依题意，所以， 所以，所以； 故选：B (2)．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得，即可得答案. 【详解】由题意是幂函数，则， 即，将代入可得， 故， 故选：C 【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象经过点求解. 【详解】解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以． 故选：A) 【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）( 多选题)已知幂函数的图象经过点，则（ ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】设，则，可得，则， 对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对； 对于B选项，，则函数的值域为，B对； 对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数为非奇非偶函数，C错； 对于D选项，的单调增区间为，D对. 故选：ABD. 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用 幂函数的图像及其性质的应用 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 例2．（1）、（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）（多选题）已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的单调性即可求解. 【详解】幂函数，，均在上单调递减， 幂函数在上单调递增． 故选：ACD. （2）．（2023·全国·高三专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 【变式训练2-1】、（2023·高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意函数是由向右平移个单位得到，再由幂函数的性质判断的单调性，即可得到的单调性，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为函数是由向右平移个单位得到， 函数为偶函数，且函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以函数在上单调递增，则在上单调递减， 又函数在上是减函数，所以 ... ...