4.1 数列的概念 教案

第四章 数列 4.1 数列的概念 教学设计 教学目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类. 2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质. 3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同. 4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式. 教学重难点 教学重点：数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式. 教学难点：数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的前n项和求通项公式. 教学过程 新知积累 1.数列的相关概念及分类 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2.数列的符号表示 数列的一般形式是，，…，，…，简记为. 3.从函数角度看数列 ①数列与函数的关系 由于数列中的每一项和它的序号n有下面的对应关系： 序号 1 2 3 … n … 项 …… … 所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. ②数列的函数表示法及性质 （1）列表法和图象法 与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示. 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数： 定义域 正整数集N*（或它的有限子集） 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法 （2）数列的单调性 与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 4.数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 例题巩固 例l 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. （1）； （2）. 解：（1）当通项公式中的时， 数列的前5项依次为，图象如图所示. （2）当通项公式中的时， 数列的前5项依次为，图象如图所示. 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）. 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为. （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为. 例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：令， 解得（舍去），或. 所以120是数列的项，是第10项. 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是. 5.数列的递推公式 若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 例题巩固 例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解：由题意可知， ， ， ， ， . 6.数列的前n项和 ①数列的前n项和的定 ... ...