专题十四 函数的性质与综合应用 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题十四 函数的性质与综合应用 知识归纳 一．函数的对称性 （一）函数 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数的定义域内任意一个， 图象关于直线对称. 推论1： 的图象关于直线对称. 推论2： 的图象关于直线对称. 推论3： 的图象关于直线对称. 求对称轴方法： 2、中心对称 对于函数的定义域内任意一个， 的图象关于点对称. 推论1：的图象关于点对称. 推论2：的图象关于点对称. 推论3：的图象关于点对称. 求对称中心方法： 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值. （二）两个函数的图象相互对称 1、函数与函数图象关于直线对称； 特别地，函数与关于直线x=0(y轴)轴对称； 函数与函数图象关于y轴对称； 求对称轴方法：令,得 . 2、函数与关于点中心对称； 特别地，函数与关于点(0,0)（原点）中心对称. 函数与函数图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：横坐标令,得 ，纵坐标. 二． 函数的奇偶性 1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(f(x) －f(－x)＝0)，那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴(x=0)对称． 推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称. 2、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(x) +f(－x)＝0)，那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点(a，0)中心对称. 三．函数的周期性 1、 定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，都存在非零常数T，使得恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期. 2、推论： ①的周期为T. ②的周期为. ③的周期为. ④的周期为. ⑤的周期为. ⑥ 的周期为. ⑦ 的周期为. ⑧ 的周期为. ⑨的周期为. ⑩若的周期为 四．函数的对称性与周期性 ①若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 推论：偶函数y＝f(x)满足的周期为. ②若函数y＝f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 推论：奇函数y＝f(x)满足的周期为. ③y＝f(x)有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b，0)的周期T＝4|a－b|. 小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x”； ②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”； 五．函数的单调性 1、增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。 (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。 2、单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。 3、函数单调性的两个等价结论 设 x1，x 2∈D(x1≠x 2)，则 (1)>0(或>0) f(x)在D上单调递增。 (2)<0(或<0) f(x)在D上单调递减。 六、函数的最大值与最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。 (2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值。 七、常见的几个具有奇偶性的 ... ...