2023年8月高中数学 不等式”1“的技巧 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．（2023春·河南许昌·高一校考期中）若，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）设，且，则的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）（1）已知求的最大值 （2）已知求的最大值 （3）已知，且，求的最小值 5．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）设实数满足. (1)若，求证：； (2)若，求的取值范围. 6．（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）（1）若，求的最小值 （2）若且，求的最小值 7．（2022秋·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 三、填空题 8．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知正实数、满足，则的最小值是 . 9．（2022秋·陕西西安·高一校考期中）已知，且满足，求的最小值是 . 10．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知，若，则的最小值是 . 参考答案： 1．C 【分析】将转化为，化简，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为3. 故选：C. 2．B 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 3．D 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 4．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）变形后利用基本不等式进行计算；（2）先计算出，从而得到；（3）利用基本不等式“1”的妙用求解最值. 【详解】（1）因为，所以， 故由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； （2）因为，所以，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 故的最大值为； （3）已知，且，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据结合基本不等式即可得证； （2）由，得，再分类讨论去绝对值符号，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以； （2）由，得， 所以不等式，即， 则有或或， 解得或或， 所以的取值范围为. 6．（1）；（2） 【分析】（1）凑项得，然后利用基本不等式求最值； （2）将目标式变为，展开然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）,， , 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为； （2）， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7．（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值 【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和 的转换思想解决即可. 【详解】解： 当且仅当时取“=” 所以当函数最小值为 （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，，构造求出，， 因为，所以， 所以M= 取等号时，解的，，即 所以时，取得最小值 8． 【分析】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 9．18 【分析】利用“1”的妙 ... ...
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