专题一 空间向量在立体几何中的应用 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题一 空间向量在立体几何中的应用 知识归纳 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0 l⊥α n∥m n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm α⊥β n⊥m n·m＝0 1．对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线． 2．对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 3.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ 4.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉. (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝. 典例分析 题型一、空间向量基本量的运算 例1、在四面体中，以上说法正确的有（ ） A．若，则可知 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则 【答案】ABC 【详解】对于，，， ，，即，故正确； 对于，若Q为的重心，则， 即，故正确； 对于，若，，则 ， ， ， ，.故正确； 对于， ， ，故错误. 变式1、(1)如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以向量，，为基底表示向量，，利用向量，夹角的余弦值去求异面直线与所成角的余弦值 【详解】由题意可得， ， 由 可得 则异面直线与所成角的余弦值为 故选：C (2)若,,则为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】因为,所以,故所求 ... ...