专题八 双曲线的方程及其性质 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题八 双曲线的方程及其性质 知识归纳 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令，焦点到渐近线的距离为 令，焦点到渐近线的距离为 点和双曲线的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 典例分析 题型一、双曲线的定义与标准方程 【例1-1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则_____. 【例1-2】已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D．(x≤－1) 【例1-3】已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【例1-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A． B． C． D． 【例1-5】已知双曲线的左 右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【例1-6】（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若曲线C的方程为，则（ ） A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为 B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为 C．当时，曲线C表示圆，半径为1 D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4 题型二、双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【例2-1】已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是_____. 【例2-2】已知 是双曲线的左 右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（ ） A． B． C． D． 【例2-3】设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为_____. 【例2-4】已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是_____. 题型三、双曲线上线段的和差最值问题 【例3-1】已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ） A．的实轴长为6 B．的渐近线为 C．的最小值为 D．的最小值为 【例3-2】已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ） A． B． C． D． 【例3-3】设是双曲 ... ...