2014-2023年高考数学真题专题分类--6.3　等比数列(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类 6.3　等比数列 考点一　等比数列及其前n项和 1.(2020课标Ⅱ文,6,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2n-1　　　　B.2-21-n　　　　C.2-2n-1　　　　D.21-n-1 答案　B　设等比数列{an}的公比为q,则==q==2,∴==2-21-n.故选B. 2.(2020课标Ⅰ文,10,5分)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　　) A.12　　　　B.24　　　　C.30　　　　D.32 答案　D　设等比数列{an}的公比为q, 故a2+a3+a4=q(a1+a2+a3), 又a2+a3+a4=2,a1+a2+a3=1,∴q=2, ∴a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32,故选D. 3.(2015课标Ⅱ理,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(　　) A.21　　　　B.42　　　　C.63　　　　D.84 答案　B　设{an}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42. 4.(2013课标Ⅰ文,6,5分)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.Sn=2an-1　　　　B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an　　　　D.Sn=3-2an 答案　D　因为a1=1,公比q=,所以an=,Sn==31-=3-2=3-2an,故选D. 5.(2013课标Ⅱ理,3,5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　)　 A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 答案　C　由已知条件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1,设数列{an}的公比为q,则q2=9. 所以a5=9=a1·q4=81a1,得a1=,故选C. 6.(2021全国甲文,9,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= (　　) A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10 答案　A　解题指导:思路一:直接利用求和公式解关于首项和公比两个基本量的方程组.思路二:根据等比数列前n项和的性质(依次每n项和仍然成等比数列且Sn≠0)求解. 解析　解法一(基本量法):设{an}的首项为a1,公比为q(q≠1), 则 ∴S6==7,故选A. 解法二(利用等比数列前n项和的性质): 由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 则(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即(6-4)2=4(S6-6), 解得S6=7,故选A. 7.(2021全国甲理,7,5分)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件　　　　 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件　　　　 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　B　当q=1,a1<0时,等比数列{an}的前n项和Sn=na1<0,可知{Sn}是单调递减数列,因此甲不是乙的充分条件; 若{Sn}是递增数列,则当n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,即a1qn-1>0恒成立,而只有当a1>0,q>0时,a1qn-1>0恒成立,所以可得q>0,因此甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B. 方法总结:研究数列{Sn}的单调性只需考虑Sn>Sn-1或SnSm恒成立. 8.(2022全国乙,理8,文10,5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　　) A.14　　　　B.12　　　　C.6　　　　D.3 答案　D　解法一:设{an}的公比为q, 则 =q(1-q)=,4q2-4q+1=0,即(2q-1)2=0,∴q=,代入①得a1=96,故a6=a1q5=96×=3,故选D. 解法二:设数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. 由a2-a5=42,得q≠1. 由题意得 =4,即4q2-4q+1=0,∴(2q-1)2=0,得q=,代入①得a1=96,∴a6=a1q5=96×=3,故选D. 9.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= (　　) A.　　B.　　C.15　　D.40 答案　C　设数列{an}的公比为q(q>0),由题意可知q≠1. ∵S5=5S3-4,∴=5·-4, ∴q4-5q2+4=0,解得q2=4或q2=1, ∴q=2,∴S4===15,故选C. 10.(2023天津,6,5分,易)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为 (　　) A.3　　B.18　　 ... ...