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课件网) 3.3.2空间向量运算的坐标表示及应用 说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一组基． ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面） ③一组基是不共面的三个向量构成的一个向量 组，一个基向量是指基中的某一个向量． 空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一组基， a、b、c都叫做基向量． 温故知新 一、空间向量运算的坐标表示 类比平面直角坐标系，如何建立空间直角坐标系？ 研讨问题 Step1:在空间选定一点O和一个单位正交基底 Step2:分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴. 空间直角坐标系 坐标原点 坐标向量 坐标平面 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 逆时针！ 有了空间直角坐标系后，如何确定空间中向量（点）的坐标？ 研讨问题 （横，纵，竖） 总结归纳： 1.建立空间直角坐标系的叙述规范 2.建立空间直角坐标系的原则 以…为原点，以…所在直线为x、y、z轴， 建立如图空间直角坐标系.（图上务必标出） 有垂直用垂直，无垂直作垂直； 使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. “终点坐标”-“起点坐标” 类比平面向量，我们能利用空间向量的坐标解决哪些问题？ 研讨问题3 例2．已知 解: 二、空间向量平行（共线）和垂直的条件 二、空间向量平行（共线）和垂直的条件 类比平面向量，我们能利用空间向量的坐标解决哪些问题？ 研讨问题 应用3 判定平行 对应坐标成比例. 应用4 判定垂直 类比平面向量，我们能利用空间向量的坐标解决哪些问题？ 研讨问题 巩固提升 2.设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若a∥b，则y＝_____，z＝_____． 3.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b( ) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解析：选A. a·b＝(1，－5，6)·(0，6，5) ＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b. 4.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)， 则〈a，b〉＝_____． 三、空间向量长度和夹角的坐标表示 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知 、 ，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。 例3 已知 、 ，求： （1）线段 的中点坐标和长度； 解：设 是 的中点，则 ∴点 的坐标是 . （2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。 解：点 到 的距离相等，则 化简整理，得 即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是 例4 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则 例4 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。 小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。 ... ...
