【知识剖析】 裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。其本质是“凑、抵、消”。 在一些较复杂的数列求和时，单靠应算往往不容易得出结果，同时也没有公式可以直接来结算结果。比如：1×2＋2×3＋……＋9×10，这时就可以利用“裂项”的方法进行解答，通过把每一项分拆成两项的差，使得相邻两项由共同可以抵消的部分，相加抵消运算。 1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷3 2×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3 3×4＝（3×4×5－2×3×4）÷3 …… 最终，将上述所有算式相加后提取公除数，括号内前后一加一减即可相互抵消，得出结果。 1×2＋2×3＋……＋9×10 ＝（9×10×11－0×1×2）÷3 ＝990÷3 ＝330 【基础巩固】 1．计算。 1×2＋2×3＋……＋19×20 2．计算。 11×12＋12×13＋……＋99×100 3．计算。 7×8＋8×9＋……＋49×50 4．计算。 2×4＋4×6＋……＋28×30 5．计算。 1×3＋3×5＋……＋27×29 6．计算。 4×7＋7×10＋……＋40×43 7．计算。 5×10＋10×15＋……＋50×55 8．计算。 4×9＋9×14＋……＋49×54 【勇攀高峰】 9．计算。 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20 10．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项是6765，那么它的前18项的和是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．2660 【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。 1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷3 2×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3 …… 依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。 【详解】1×2＋2×3＋……＋19×20 ＝（1×2×3－0×1×2）÷3＋（2×3×4－1×2×3）÷3＋……＋（19×20×21－18×19×20）÷3 ＝[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋……＋（19×20×21－18×19×20）] ÷3 ＝[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋……＋19×20×21－18×19×20] ÷3 ＝[19×20×21－0×1×2]÷3 ＝19×20×21÷3 ＝2660 2．332860 【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。 11×12＝（11×12×13－10×11×12）÷3 12×13＝（12×13×14－11×12×13）÷3 …… 依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。 【详解】11×12＋12×13＋……＋99×100 ＝（11×12×13－10×11×12）÷3＋（12×13×14－11×12×13）÷3＋……＋（99×100×101－98×99×100）÷3 ＝[（11×12×13－10×11×12）＋（12×13×14－11×12×13）＋……＋（99×100×101－98×99×100）] ÷3 ＝[11×12×13－10×11×12＋12×13×14－11×12×13＋……＋99×100×101－98×99×100] ÷3 ＝[99×100×101－10×11×12]÷3 ＝[999900－1320] ÷3 ＝998580÷3 ＝332860 3．41538 【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。 7×8＝（7×8×9－6×7×8）÷3 8×9＝（8×9×10－7×8×9）÷3 …… 依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。 【详解】7×8＋8×9＋……＋49×50 ＝（7×8×9－6×7×8）÷3＋（8×9×10－7×8×9）÷3＋……＋（49×50×51－48×49×50）÷3 ＝[（7×8×9－6×7×8）＋（8×9×10－7×8×9）＋……＋（49×50×51－48×49×50）] ÷3 ＝[7×8×9－6×7×8＋8×9×10－7×8×9＋……＋49×50×51－48×49×50] ÷3 ＝[49×50×51－6×7×8]÷3 ＝[124950－336] ÷3 ＝124614÷3 ＝41538 4．4480 【分析】题干中乘数是连续的偶数，考虑利用整数列项方法进行解答： 2×4＝（2×4×6－0×2×4）÷6 4×6＝（4×6×8－2×4×6）÷6 …… 以此类推，依次将每项进行裂项，然后相 ... ...
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