上海市杨浦区重点中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

杨浦区重点中学2023-2024学年高三上学期第一次月考 数学 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．不等式的解集为 . 2．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是 . 3．设等差数列的前项和为，已知，则 . 4．在中，若，则的值为 . 5．若复数是纯虚数，则实数a的值为 . 6．已知是R上的奇函数，当，则的解析式为 . 7．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 . 8．中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则 . 9．设是从集合中随机选取的数，则直线与圆有公共点的概率是 . 10．已知，则 . 11．如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角的大小为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 . 12．已知曲线． ①曲线C的图像不经过第二象限； ②若为曲线上一点，则； ③存在与曲线有四个交点； ④直线与曲线无公共点当且仅当． 其中所有正确结论的序号是 . 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（ ） A．27 B．48 C．54 D．64 15．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．设函数的定义域为，满足，且当时，.则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②若对任意，都有，则的取值范围是； ③若方程恰有3个实数根，则的取值范围是； ④函数在区间上的最大值为，若，使得成立，则. A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，崇明区决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立． (1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在四棱锥中，为直角梯形，，平面平面．是以为斜边的等腰直角三角形，为上一点，且． (1)证明：直线∥平面; (2)求二面角的大小． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数. (1)当时，试写出函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆.若直线与圆相切，求直线的倾斜角； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合的一点，点M异于点且不与点关于轴对称，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴于点 点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5， ... ...