专题25 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 专题二十五 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识归纳 一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 典例分析 题型一、平面的概念及基本性质 【例1-1】下面说法中正确的是（ ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【例1-2】一个平面把空间分为_____部分；两个平面把空间分为_____部分；三个平面把空间分为_____部分． 【例1-3】一条直线和直线外三点最多可以确定_____个平面. 题型二、证明“点共面”、“线共面” 【例2-1】给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为_____． 【例2-2】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【例2-3】如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为_____． 【例2-4】如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_____. 【例2-5】(多选题)在棱长为1的正方体 中， 为底面的中心，是棱 上一点，且，， 为线段 的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ） A． 与 共面； B．三棱锥 的体积跟的取值无关； C．当时， ； D．当时，过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面的周长为． 题型三、证明“点共线”及“线共点” 【例3-1】在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【例3-2】在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A． 三点共线； B． 四点共面； C． 四点共面； D． 四点共面. 【例3-3】(多选题) ... ...