高二数学之圆锥曲线培优专题 双曲线 学案

二．双曲线 双曲线的定义 我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1F2 | )的点的轨 迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 图形 标准方程 x2 y2 2 2 2 2 1(a 0，b 0) y x 2 2 1(a 0，b 0)a b a b 范围 x ( ， a] [a， ) y R y ( ， a] [a， ) x R 顶点坐标 半轴长 离心率 e c a 对称性 a、b、c的关系 通径 焦点三角形 与双曲线有关的二级结论： 1. F1、F2 为双曲线的焦点，P 为双曲线上一点，则△PF1F2 为焦点三角形，∠F1PF2= 焦点三角形的面积： S b 2 PF1F 2 tan 2 x2 y2 b2 2. 已知 A、B 是椭圆 2 2 1上两个不重合的两点，P 为弦 AB 的中点，则有 kOP ka b AB a2 3. 设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x轴上，过点 F 且斜率为 k的直线 l交曲线 C 于 A、B 两点，若AF FB( 0)， 则 e 1 k 2 | 1 | 1 1 x2 y2 xx yy 4. 过椭圆外一点 P(x0,y0)作椭圆 2 2 1的切线，则切点弦的方程为 0 02 1a b a b2 双曲线基本运算 x2 2 例 1 焦点为(0,6),且与双曲线 y 1有相同的渐近线的双曲线方程是( ) 2 x2 y2 y2 x2 2 2 2 2 A. 1 B. 1 y x x yC. 1 D. 1 12 24 12 24 24 12 24 12 x2 2 例 2 双曲线 y 1的顶点到其渐近线的距离等于( ) 4 2 4 2 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 x2 y2 5 例 3 双曲线 C： 2 2 1的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )a b 2 1 1 1 A. y= x B. y= x C. y= x D.y= x 4 3 2 0 x 2 y2 y2 x2 例 4 已知 ,则双曲线 C1： 2 1与 C2： 1的( )4 cos sin 2 sin 2 cos2 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 离心率问题 x2 y2 3 x2 y2 例 1 若椭圆 2 2 1的离心率为 ，则双曲线 2 2 1的离心率为( )a b 2 a b 5 5 3 5 A. B. C. D. 4 2 2 4 2 x2 y2 例 2 双曲线 2 2 1的左右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2a b 垂直于 x轴，则双曲线的离心率为( ) 3 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3 例 3 已知 F1、F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则 双曲线的离心率为( ) 3 1 A. 4 2 3 B. 3 1 C. D. 3 1 2 2 2 例 4 设直线 x 3y m 0(m 0) x y与双曲线 2 2 1两条渐近线分别交于点 A、B，若点 P(m,0)满足 PA=PB，a b 则该双曲线的离心率为_____ x2 y2 例 5 双曲线 2 2 1的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且 PF1=2PF2，则双曲线离心率的取值范围是( )a b A. (1,3) B.(1,3] C.(3,+ ) D.[3,+ ) C x 2 6 F F ： +y 2例 如图， 1、 2是椭圆 1 1与双曲线 C2 的公共焦点，A、B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公4 共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2 的离心率为( ) A. 2 B. 3 3 6 C. D. 2 2 3 例 7 已知 F1、F2是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1⊥PF2，e1,e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( ) 1 1 1 1 A. 2 2 4 B. 2 e e e e2 2 1 2 1 2 C. e21 e 2 2 4 D. e 2 1 e 2 2 2 例 8 已知 F1、F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心 3 率的倒数之和的最大值为( ) 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 x2 y2 例 9 已知双曲线 2 2 1的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只一个交点，a b 则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+ ) D.(2,+ ) x2 y2 例 10 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2 2 1的右焦点 F 且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的a b 取值范围是( ) A.(1,2) B.(1, 3 ) C.(1, 5 ) D.( 5 ,+ ) x2 y2 例 11 F1、F2 是双曲线 C： 2 2 1的两个焦点，P 是 C 上一点，若 PF1+PF2=6a,且△PF1F2的最小内角为 30°，a b 则 C 的离心率为_____ 4 ... ...