1.1空间向量及其运算 练习——2023-2024学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含解析）

1.1空间向量及其运算 练习 一、单选题 1．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）． A． B． C． D． 6．在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（ ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 7．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知空间中两个点，，则向量的模是（ ） A．2 B． C． D．1 二、多选题 9．设向量，，其中，则下列判断正确的是（ ） A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关） B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为1 10．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．不相等的两个空间向量的模可能相等 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．若是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底 11．设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A．存在不全为零的实数，，，使得 B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有 D．存在另一个基底，使得 12．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．向量，，若，则 B．任意向量，，满足 C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D．已知向量，，若，则为锐角 三、填空题 13．已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ． 14．正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和： . 15．在空间四边形ABCD中，，，则 . 16．若向量，，其中，则的最小值为 ． 四、计算题 17．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 18．在正方体中，化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 参考答案 1．C 【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小. 【详解】由题意得：，， 因为， 所以， 即，解得：， 又，则， 由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为， 故选：C. 2．B 【分析】过点作轴交于点，根据已知条件算出三角形的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出的长度即可解决问题. 【详解】过点作交于点，如图所示： 因为，， 所以在中有： 得、， 在中， 有， 所以， 所以点的坐标为， 又为原点，所以， 故选：B. 3．C 【详解】因为线段D1Q与OP互相平分， 所以四点O，Q，P，D1共面， 且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时， Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时， Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意． 若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q； 在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动， 只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合， 此时λ＝0 ... ...