2.6双曲线及其方程 练习（含解析）

2.6双曲线及其方程 练习 一、单选题 1．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左 右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线，垂直于的延长线交于，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为 A．或 B．或 C．1或 D．或 4．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论： ①当轴时， ②离心率 ③ ④点的横坐标为定值 上述结论正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 6．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．“”是“表示的曲线是双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，则（ ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C和双曲线有共同的渐近线 D．C和椭圆的焦距相等 10．已知曲线，下列说法正确的有（ ） A．若曲线表示椭圆，则或 B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值 11．设双曲线的左、右焦点分别为，．点为坐标原点，点，，点为右支上一点，则（ ） A．的渐近线方程为 B． C．当，，，四点共圆时， D．当，，，四点共圆时， 12．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A．当，曲线为椭圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件 D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线 三、填空题 13．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为 . 14．是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是的右焦点，延长分别交于两点，已知，且，则的离心率为 ． 15．若椭圆与双曲线的焦点相同，则m的值为 . 16．已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 四、解答题 17．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用． 18．求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图， 19．在中，如果，，求证：. 20．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4； (2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点. 参考答案 1．C 【分析】根据双曲线和椭圆的定义建立半焦距与长半轴长和实半轴长的关系，再利用双曲线的离心率范围可得椭圆离心率范围． 【详解】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为， ，则， 又，所以，即，又， 所以椭圆的离心率为． 故选：C． 2．B 【分析】数形结合，通过题意已知条件可求得点到直线的距离的值，通过勾股定理可求得，再联立直线与解方程组可得点坐标，从而列出的表达式，由计算可得关系，从而可求离 ... ...