2.1等式 练习（含解析）-2023-2024学年上学期高一数学人教B版（2019）必修第一册

2.1等式 练习 一、单选题 1．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 2．设，，为方程的两个解，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．32 3．已知是方程的两个根，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．设是方程的两根，那么的值是（ ） A． B． C． D． 6．下列式子中变形错误的是（ ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A． B．2 C．3 D．7 8．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知二次函数有两个零点，，且，则（ ） A． B． C． D． 10．已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ） A．若方程有两个互为相反数的实数根，则 B．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 C．若二次三项式是完全平方式，则 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 11．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 12．已知方程有且只有一个实数根，则（ ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 三、填空题 13．以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 14．方程组的解集为 ． 15．设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 16．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 四、解答题 17．已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． (1)若，求的值； (2)若，且，求取值范围． 18．已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 20．若，是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求实数a的取值范围． 22．已知、是方程的两个实数根. (1)求的取值范围； (2)求、.（结果用表示） (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 参考答案： 1．C 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【详解】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 2．D 【分析】根据韦达定理，即可结合不等式求解最值. 【详解】由，为方程的两个解，所以， 故， 当且仅当时等号取得到， 故最小值为32， 故选：D 3．A 【分析】根据题意，利用韦达定理得到，结合，即可求解. 【详解】因为是方程的两个根，可得， 则. 故选：A. 4．B 【分析】对于变形后，结合已知可得和是方程的两个根，再利用 ... ...