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课件网) 第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 基础知识 1.一元二次方程的解集 情境与问题 《九章算术》第九章“勾股”问题二十: 今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何。根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中 A 点代表北门，B 处是木，C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE=_____. 1775 如果设正方形的边长为 x 步，则有 AF=， DB=20＋x＋14= x＋34 根据△ABF∽ △DBE 可知 = ，从而AF·DB=AB·DE，因此 (x＋34)=20×1775， 整理得x ＋34x－71000=0，你会解这个方程吗？ 我们知道，形如 ax2+bx+c=0 的方程为一元二次方程，其中 a，b，c是常数，且a≠0. 从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为 x2－t 的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集是容易获得的。 例如，方程x2=3的解集为{－，}，方程x2=0 的解集为{0}，方程x2=－2 的解集为 . 一般地，方程x2 = t: (1)当t>0时，解集为_____； (2)当t=0时，解集为_____； (3)当t<0 时，解集为_____。 更进一步，形如 (x－k)2=t (其中k，t是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到。例如，由 (x－1)2=2可知x－1=－或x－1= ，从而x=1－或x=1＋，因此解集为{1－，1＋}. {－，} {0} 一般地，方程 (x－k)2=t (1)当t>0 时，解集为_____ (2)当t=0时，解集为_____ (3)当t=0时，解集为_____ 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为 (x－k)2=t 的形式，就可得到方程的解集。 {k－，k＋} {k} 我们知道，利用配方法可得 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2， 因此，x2+2x+3=0 可以化为 (x+1)2=-2，从而可知解集为 . 事实上，利用配方法，总是可以将 ax2+bx+c=0 (a≠0)化为(x－k)2=t 的形式，过程如下：因为a≠0，所以 ax2+bx+c = a(x2＋x)＋c =a[x2＋x＋()2－()2] ＋c =a(x＋)2－＋c =a(x＋)2＋， 因此 ax2 + bx + c=0可以化为 (x＋)2=， 从而可知，=b2－4ac 的符号情况决定了上述方程的解集情况: 4ac－b b －4ac (1)当=b2－4ac>0 时，方程的解集为 {，}； (2)当=b2－4ac=0时，方程的解集为{}； (3)当=b2－4ac<0时，方程的解集为 . 一般地，=b2－4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的判别式。由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。 前述情境与问题中的方程可以化为 (x+17)2=71 289，从而可解得x=250或x=－284 (舍)。 典例精析 例1 求方程x－2－1=0 的解集。 分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程。 解：设=y，则y≥0，且原方程可变为 y2－2y－1=0, 因此可知 y=1＋或 y=1－ (舍). 从而=1 ＋，即x=3+2，所以原方程的解集为{3+2}. 2.一元二次方程根与系数的关系 我们知道，当一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0) 的解集不是空集时，这个方程的解可以记为 x1= ， x2= 尝试与发现 计算x1＋x2和x1x2的值，并填空： x1＋x2=_____， x1x2=_____. 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系。 － 典例精析 例2 已知一元二次方程 2x ＋3x－4=0 的两根为x1与x2，求下列各式的值： 解：由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=－， x1x2 =－2. (1)由上有 (2)因为 思考2：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题。 基础自测 1．用配方法解方程 ... ...
