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课件网) 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第1课时 单调性的定义与证明 基础知识 情境与问题 我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律。 如果我们以 x 表示时间间隔 (单位: h)，y 表示记忆保持量，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为 y=f(x)。 这个函数反映出记忆具有什么规律 你能从中得到什么启发 情境与问题中的函数 y=f (x) 反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量 y 将减小。 给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过。 如图，从正比例函数y=2x的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即 y 随着 x 的增大而增大；从反比例函数 y=的图象可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）內，这个函数的函数值 y 都随着 x 的增大而减小。 一般地，设函数y=f(x)的定义域为 D，且ID： 如果对任意 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f (x2)，则称y=f(x)在I上是增函数 (也称在I上单调递增)，如图(1)所示; (2)如果对任意 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称 y=f(x)在I上是减函数 (也称在I上单调递减)，如图(2)所示。 两种情况下，都称函数在I上具有单调性 (当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)。 由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，y=2x在R上是增函数；y=在(-∞，0) 上是减函数，在 (0，+∞)上也是减函数。 尝试与发现 如图所示的函数 y=f(x)，在[-6，-4] 上是增函数，在 [-4，-2] 上是减函数，在 [-2，1] 上是_____函数，在 [1，3] 上是_____函数，在 [3，6]上是_____函数。 增 增 减 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性。但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性。这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法。 思考1：若把增、减函数定义中的“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”可以吗？ 提示：不可以，如图： 思考2：“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同？ 提示：不相同。函数f(x)的单调增(减)区间是D，这一说法意味着除D之外，函数f(x)再无其他单调增(减)区间。 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间，即除区间D外，函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间。 典例精析 求证：函数 f(x)= -2x 在 R 上是减函数。 证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)=(-2x1)－(-2x2)=2(x2－x1)>0， 从而 f(x1)＞f(x2)。 因此，函数 f(x)=－2x 在 R上是减函数。 一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，且x0∈D，如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为 f(x0)，而x0称为 f(x)的最大值点；如果对任意 x∈D，都有 f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为 f(x)的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值。 判断函数 f(x)=3x+5，x∈[-1，6] 的单调性，并求这个函数的最值。 典例精析 解：任取x1，x2∈[-1，6]且x1
