重庆市西南大学附高2023-2024学年高三上学期期中考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整， 3、考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知扇形的圆心角是60°，半径为2，则扇形的面积为（ ） A.60 B.120 C. D. 3.如图，正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6.正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7.一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为0.1米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为1米.若该蛋糕的体积至少为0.6立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（ ）（其中） A.3 B.4 C.5 D.6 8.设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A.对应的点在复平面的第四象限 B.是一个纯虚数 C. D. 10.下列说法正确的是（ ） A.等比数列的公比为，则其前项和为 B.已知为等差数列，若（其中），则 C.若数列的通项公式为，则其前项和 D.若数列的首项为1，其前项和为，且，则 11.下列说法中错误的有（ ） A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B.已知向量，，则不能作为平面的一个基底 C.若，，则 D.是所在平面内一点，且满足，则是的内心 12.如图，已知矩形中，，.点为线段上一动点（不与点重合），将沿向上翻折到，连接，.设，二面角的大小为，则下列说法正确的有（ ） A.若，，则 B.若，则存在，使得平面 C.若，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 D.点到平面的距离的最大值为，当且仅当且时取得该最大值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.等比数列中，，，则_____. 14.已知，，且，，则_____. 15.已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为_____. 16.已知函数为奇函数，的函数图象关于对称，且当时，，则_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知向量，，函数. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若是的导函数，，，求函数的值域. 18.（12分）已知各项为正的数列的首项为2，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和，求数列（其中）前项和的最小值. 19.（12分）如图，在五面体中，面面，，面，，，，二面角的平面角为45°. （1）求证：面； （2）点在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值. 20.（12分）已知内角、、的对边为、、（其中），若. （1）求角的大小； （2）若点是边上的一点，，，求的最大值. 21.（12分）王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示： 到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45- ... ...
