(课件网) 13.4课题学习 最短路径问题第1课时 2023—2024学年人教版数学八年级上册 A C D E B F 1．从 A 地到 B 地有三条路可供选择，哪条路距离最短？ 两点的所有连线中，线段最短． D A C B 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 2．在灌溉时需要把河 AB 中的水引到 C 处，如何挖渠能使渠道最短？ 如果把河边 l 近似地看成一条直线，C为直线 l 上的一个动点，那么上面的问题可以转化为： 问题 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小． 1．如图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一点 C，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ 思考 A B l 分析：连接 AB，与直线 l 相交于一点 C，这个交点 C 即为所求． 两点之间，线段最短． C 2．如图，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一点 C，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ A 思考 B l 分析：如果能把点 B 移到 l 的另一侧B′ 处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等，就可以把问题转化为“思考 1”的情况，从而使问题得到解决． C 2．如图，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一点 C，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ A 思考 B l 作法： （1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； B′ （2）连接 AB′ 交直线 l 于点 C； （3）则点 C 即为所求的点． 3．观看动图，思考如何证明 AC＋CB 最短． 思考 A B l B′ C 已知：如图，点 B′ 是点 B 关于直线 l 的对称点，连接 AB′ 交直线 l 于点 C，连接BC，在直线 l 上任取一点 C′（异于点 C），连接 AC′，BC′，B′C′． 求证：AC＋CB＜AC′＋C′B． C′ 证明：由轴对称的性质知， CB＝CB′，BC′＝B′C′， ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′， AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． A B l B′ C C′ 由两点之间，线段最短可得， AB′＜AC′＋B′C′， ∴AC＋CB′＜AC′＋C′B′． 即AC＋CB＜AC′＋C′B． 即 AC＋CB 最短． 如图，当点 A，B 位于直线 l 的异侧时，连接 AB，与直线 l 的交点C，即为直线 l 上到点 A、点 B 距离之和最短的点． A l B C 两点在直线异侧的最短距离 新知 A B l B′ C 两点在直线同侧的最短距离 新知 如图，当点 A，B 位于直线 l 的同侧时，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接AB′，与直线 l 的交点C，即为直线 l 上到点 A、点B 距离之和最短的点． B′ 作法（方法一）： （1）作点 B 关于直线 a 的对称点 B′； 例 如图，A，B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A，B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点． A B a （2）连接 AB′ 交直线a于点 C； （3）则点 C 即为所求的点． C （2）连接 BA′ 交直线 a于点 C； A′ C 例 如图，A，B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A，B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点． A B a 作法（方法二）： （1）作点 A 关于直线 a 的对称点 A′； （3）则点 C 即为所求的点． 将军饮马问题 两点在直线异侧的最短距离 两点在直线同侧的最短距离 A l B C A B l B′ C 谢谢 ... ...
