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课件网) 第四章《数列》人教A版2019选择性必修第二册4.4数学归纳法数学归纳法的概念， 会用数学归纳法解决证明问题， 体会数学归纳法的思想 学习目标 环节一：创设情境，引入课题 如何证明这个猜想呢 我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证． 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦．特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的． 因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立． 我们先从多米诺骨牌游戏说起．码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下． 环节二：观察分析，感知概念 思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 思考2：你认为条件（2）的作用是什么 如何用数学语言描述它 这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下，事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下． 假设有无限多块多米诺骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去． …… 思考4：归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗 我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构： 这里k是任意的，所有能使猜想成立的正整数都可以作为k， 并且这样的k也是存在的，因为数“1”就是一个例子． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction)． 环节三：抽象概括，形成概念 思考5：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 环节四：辨析理解，深化概念 在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，并把“证明的目标”牢记在心． 1．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ 练习 第47页 注：第二步正确的证明方法如下： 环节五：课堂练习，巩固运用 分析：该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜想，两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想． 环节六:归纳总结，反思提升 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1. 本节课学习的概念有哪些？2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单：(1)数学归纳法的概念．(2)数学归纳法的步骤．2．方法归纳：归纳—猜想—证明．3．常见误区：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设． 证明一个与正整数 有关的命题 （1）证明当 时命题成立 对所有正整数 命题都成立。 数学归纳法的结构 (2)假设当 时命题 成立,证明当 时命题也成立。 两个步骤 缺一不可 数学思想: 归纳思想，递推思想，类比思想 数学方法： 数学归纳法：两步骤 一结论 数学知识: 无限递推转化为有限步验证 实现由量变到质变的飞跃 环节七：目标检测，作业布置 完成教材：第51页 练习 第1,2,3,4题 第51 页 习题4.1 第1,2题 练习 第51页 习题4.1（第51页） C 由①②可知,等式成立. ... ...
