第一章 空间向量与立体几何（B卷）——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）寒假轻松衔接（含解析）

（2）空间向量与立体几何（B卷）———2023-2024学年高二数学人教A版（2019）寒假轻松衔接 1.已知向量与平行,则( ) A.1 B. C.3 D. 2.在长方体中，，，，则与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 3.如图，在平面四边形中，，，E为的中点，，，则的值为( ) A.2 B.3 C. D. 4.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池,它的高为2,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90,则图中异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( ) A. B. C. D. 7.（多选）如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( ) A. B.的中点坐标为 C.在方向上的投影的数量为 D.的长为 8.（多选）如图,在棱长为1的正方体中,点M为线段上的动点（含端点）,则( ) A.存在点M,使得平面 B.存在点M,使得∥平面 C.不存在点M,使得直线与平面所成的角为 D.存在点M,使得平面与平面所成的锐角为 9.已知向量，，且与平行，则_____. 10.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外的任意一点,若点P在平面ABC内,且,则实数_____． 11.已知正方体的棱长为2,点M是棱BC的中点,点N是棱上的一个动点,设点A,M,N确定的平面为,当点N为的中点时,平面截正方体的截面的面积为_____.点到平面的距离的最小值为_____. 12.如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点. （1）证明； （2）求二面角的正弦值. （3）设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长. 答案以及解析 1.答案：B 解析:解析:由于向量与平行,注意到,所以,故,,.故选B. 2.答案：D 解析：方法一：以点D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则得取，则，所以，所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：如图，作，交于点M，连接MB. 因为平面，所以.又，且，所以平面，即为与平面所成角.又，，所以，所以.在中，. 3.答案：B 解析：，E为的中点， ， ， ， ， ， ，解得：. 故选：B. 4.答案：C 解析：设上底面圆心为,下底面圆心为O,连接,OC,OB,以O为坐标原点, 分别以OC,OB,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示： 则,,,, 所以,, , 又因为异面直线所成的角的范围为, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5.答案：C 解析：平面的方程为， 平面的法向量可取 平面的法向量为，平面的法向量为， 设两平面的交线l的方向向量为， 由，令，则，，所以， 则直线l与平面所成角的大小为，.故选：C. 6.答案：A 解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，.设平面BED的一个法向量为，则令，得，，且，平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为. 7.答案：AD 解析：对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，，，则的中点坐标为，故B错误. 对于C，，，，所以在方向上的投影的数量为，故C错误. 对于D，，，，，故D正确. 8.答案：BCD 解析：建立如图所示的空间直角坐标系, ,,,,,, 设, 设平面的法向量为, ,, 则有, 假设存在点M,使得平面,所以有, 所以有,因此假设不成立,因此选项A不正确; 假设存在点M,使得平面, 所以有,所以假设成 ... ...