(
课件网) 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 角的平分线 第1课时 角平分线的性质与尺规作图 1.知道角是轴对称图形,掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性； 2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法，角平分线定理及其逆定理； 3.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题. 一、学习目标 二、新课导入 要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） S Ｏ 公路 铁路 三、概念剖析 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. （一）角平分线的概念 O B C A 1 2 三、概念剖析 （二）角平分线与垂线的做法 尺规作图： 已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法：1.以点O为圆心，任意长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点； A B N M P O 2.分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P； 3.作射线OP，OP就是所求作的射线. 三、概念剖析 想一想：为什么OP是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB. 证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP， B A N M P Ｏ ∴ △OMP≌ △ONP,（SSS） ∴∠MOP=∠NOP, 即OP平分∠AOB. 三、概念剖析 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ (1)当点P在直线l上. ①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB； · P A B C l ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线. 三、概念剖析 (2)当点P在直线l外. ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C， P作直线CP，则直线CP为所求作的直线. · P A B C l 例1：已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE. 四、典型例题 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）, ∴∠PDO=∠PEO=90 （垂直的定义）. 在△PDO和△PEO中， D P E A O B C ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴△PDO△PEO（AAS）， ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 四、典型例题 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 归纳： 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 定理的作用:证明线段相等. 应用格式：∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD=PE 1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A 【当堂检测】 分析：连接MC、NC，根据SSS证明△ONC ≌ △OMC，即可得出答案. A B M N C O 【当堂检测】 × 2.判断正误，并说明理由： （1）如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF. 解：错误，缺少∠AOP=∠BOP，无法得到PE=PF. A O B P E F 【当堂检测】 解：错误，缺少PE⊥OA，PF⊥OB，无法得到PE=PF. 2.判断正误，并说明理由： （2）如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF. × A O B P E F 总结：定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 【当堂检测】 √ 2.判断正误，并说明理由： （3）如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离为3cm. A O B P E 解：作PF⊥OB交OB于点F， 由题意得，PE⊥OA，PE=3， ∵P在∠AOB的平分线上，且PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF=3. ∴P到OB的距离为3cm. F 【当堂检测】 3.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . 3 解：∵AD是∠CAB的平分线， DC ... ...
