2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 培优课——恒成立、能成立问题（含解析）

培优课———恒成立、能成立问题 必备知识基础练 1.若函数f(x)=-x2+4x+bln x在(0,+∞)上是减函数,则b的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.(-∞,-2) C.(-2,+∞) D.[-2,+∞) 2.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a的值为(　　) A.1 B.2 C.e D. 3.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,+∞) B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 4.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,则实数a的取值范围是　　　　　　. 5.已知函数f(x)=x+,其中a∈R,e是自然对数的底数. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[0,+∞)上的零点个数; (2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=ex-2ax(a∈R). (1)若a=,求函数f(x)的单调区间; (2)当x∈[2,3]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 关键能力提升练 7.(多选题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)5 B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+ C.f(3)-2f(1)<7 D.若f(1)=2,0x2+x+ 8.若存在x∈,e,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则实数m的最大值为(　　) A.+3e-2 B.+e+2 C.4 D.e2-1 9.已知函数f(x)=sin2x+--mx在0,上是减函数,则实数m的最小值是(　　) A.- B.- C. D. 10.已知函数f(x)=若 x0∈R且x0≠0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.-∞, C.[-1,+∞) D.-,+∞ 11.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-axa>,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为　　　　　. 12.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1),若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为　　　　　. 13.已知函数f(x)=,x∈[1,3],且 x1,x2∈[1,3],x1≠x2,<2恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 14.已知函数f(x)=xln x. (1)求f(x)的最小值; (2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围. 学科素养创新练 15.已知函数f(x)=(x+a)ex,其中a为常数. (1)若函数f(x)在区间[-1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围; (2)若f(x)≥e3-xex在x∈[0,1]时恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 培优课———恒成立、能成立问题 1.A　∵f(x)=-x2+4x+bln x在(0,+∞)上是减函数,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即f'(x)=-2x+4+≤0,即b≤2x2-4x. ∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2,∴b≤-2. 2.D　∵f'(x)=-a,x>0, ∴当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故函数f(x)单调递增,不存在最大值; 当a>0时,令f'(x)=0,得x=, ∴当x∈0,时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈,+∞时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, ∴f(x)max=f=ln-1=0,解得a=. 3.A　f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故f(x)min=f(0)=1+a. 若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A. 4.(-∞,-15]　设f(x)=4x3+4x2+1,x∈[-2,1],则f'(x)=12x2+8x,令f'(x)=0,得x=0或x=-.所以在区间-2,-上,f'(x)>0,f(x)为增函数,在区间-,0上,f'(x)<0,f(x)为减函数,在区间(0,1)上,f'(x)>0,f(x)为增函数,因此在闭区间[-2,1]上,函数f(x)在x=-处取得极大值f-,在x=0时函数取得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以f(-2)=-15是最小值,所以实数a≤-15. 5.解(1)当a=-1时,f(x)=x-, 则f'(x)=1+>0, ∴f(x)在[0,+∞)上是增函数, 又f(0)=-1<0,f(1)=1->0, 故 x0∈(0,1),使得f(x0)=0, ∴函数f(x)在区间[0,+∞)上有1个零点. (2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立, 即a>ex(2-x)恒成立, 令g(x)=ex(2-x),则g'(x)=ex(1-x), 令g'(x)>0,得x<1;令g'(x)<0,得x>1, ∴g(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴g(x)max=g(1)=e, ∴a的取值范围为(e,+∞). 6.解(1)当a=时,f(x)=ex-x,f'(x)=ex-1, 令f'(x)=0,得x=0; 令f'(x)>0,得x>0; 令f'(x)<0,得x<0. ... ...