第6章 空间向量与立体几何 练习（含解析）

第6章 空间向量与立体几何 练习 一、单选题 1．已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中： ①； ②； ③； ④ 其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知向量，且，则实数（ ） A． B． C． D． 3．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 4．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，G为的重心，若，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知三棱锥，则下列选项正确的是（ ） A．若，则在上的投影向量为 B．若是三棱锥的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．设，则构成空间的一个基底 10．如图，在平行四边形ABCD中，，，，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，连接PC，下列说法正确的是（ ） A．平面PCD⊥平面PBD B．三棱锥外接球的表面积为 C．PD与平面PBC所成角的正弦值为 D．若点M在线段PD上（包含端点），则△BCM面积的最小值为 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面平面 B．的最小值为 C．若直线与所成角的余弦值为，则 D．若是的中点，则到平面的距离为 12．如图，在三棱锥中，，，则（ ） A． B． C．若点P是棱BC上任一点，则为定值 D．三棱锥的体积是 三、填空题 13．已知分别是空间四边形各边的中点，若，则 . 14．如图，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，，则异面直线AQ与BP所成角的余弦值为 ． 15．三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 . 16．给出下列命题： ①若，则必有与重合，与重合，与为同一线段； ②若，则是钝角； ③若为直线的方向向量，则也是的方向向量； ④非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面． 其中不正确的命题为 （填序号）． 四、解答题 17．如图，在正方体中，化简向量表达式： (1)； (2)． 18．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 19．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． (1)求证：； (2)在线段上，是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由． 20．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 参考答案： 1．B 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为、不重合， 对①，平面、平行等价于平面、的法向量平行，故①正确； 对②，平面、垂直等价于平面、的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误. 故选：B 2．A 【解析】根据题中条件，由空间向量垂直的坐标表示列出等量关系，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A. 3．C 【分析】设与夹角为，先利用向量的夹角公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值. 【详解】设与夹角为，， 因为是空间的一个单位正交基底，且， 所以， 所以， 因为， 所以， 故选：C 4．C 【分析】利用空间向量的基本定理可求解. 【详解】因为:， 所以：.又因为：， 所以：， 所以：. 故C项正确. 故选：C. 5．C 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根 ... ...