河北省保定市清苑区2023-2024学年高一上学期期末数学竞赛试题 (原卷版+解析版)

1.解：因为，，. 故选：C． 2.因为函数的定义域为R，所以的值域是R， 当时，， 故当时，的值域为，所以， 所以，解得，所以实数a的取值范围是. 3.， 且，， 所以. 4.，令，则， 所以是奇函数，，所以， 又，所以. 5.函数（，）， 当时，单调递减. 当时，单调递减. 则且，，的单调性都为单调递减. 所以函数（，）的单调性与无关 6.解：函数，定义域为，所以 所以函数为偶函数，故排除选项B，C； 当时，，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故选项D符合，排除A. 故选：D. 7.不妨设任意的，， 因为，则， 所以， 所以在内单调递减. 不等式等价于，又， 所以等价于， 因为在内单调递减，所以， 即不等式的解集为. 8.因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数， 当一条鲑鱼静止时，，此时，则，即耗氧量为； 当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为， 因此当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为. 故选：B. 9.对定义域中的任意x，有，则函数为奇函数 即函数的定义域关于原点对称，由于，则函数的定义域与函数的定义域相同，则函数的定义域关于原点对称. 即，则函数在定义域上为偶函数. 10.求解得到方程的根满足，那么结合韦达定理可知四个根的和为-8，故选C. 11.令， 则函数的定义域为， ， ∴函数为奇函数， 又 所以函数在上为增函数， 由，可得， 即， ∴，即. 12.根据题意，令，为常数， 可得，且， 所以时有， 将代入，等式成立， 所以是的一个解， 因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数， 所以可知函数有唯一解， 又因为， 所以，即， 所以. 13.由，可得， 由，得，即可得， 解得或，故A不正确，B正确； 在坐标系中画出函数的图象， 如图所示，由函数图象可知函数的单调递增区间为和， 故C不正确； 由方程有三个不同的解，可知或，故D正确． 故选：AC. 14．对于A项，，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为，所以， 所以，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 15.对于A，因为，所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立； 当时，，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以 ， 所以， 所以函数的值域为，故A错误； 对于B，若正数x、y满足， 可得，当且仅当时等号成立， 令， 则，即，解得，即，所以的最小值为9，故B正确； 16.对于A，的定义域为R．因为， 所以，则函数的图象不关于原点对称，故A错误． 对于B，， 当，在上单调递增，即，令，时，函数在上单调递增，根据复合函数单调性，故B正确． 对于C，当，即时，， 则问题转化为函数在上的值域，二次函数对称轴方程为， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故值域为，故C错误． 对于D，令，即，解得或， 当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确． 故选：BD． 17. 18.因为且，是正数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以，解得. 故答案为：. 19.， 令， 因为，所以， 所以. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 又，， 所以的最小值为，函数的值域为. 故答案为：. 20. ，因为，可得， 显然当时，可得，由的值域为， 利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是. 故答案为： 21.（1）原式 . （2）因为是第三象限角， 所以，， 所以. 22.因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； 2.不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 23. 所以的单增区间为 得 所以增区间为 对称轴 对称中心的横坐标 对称中心为 24 ... ...