专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲） 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【方法点拨】 结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可. 【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 【解题思路】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出． 【解答过程】若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案. 【解答过程】将代入等式，观察左边最后一项为 ， 则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为 ， 故选：D. 【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式 ，从到左端需要增乘的代数式为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可. 【解答过程】当时,左边等于; 当时,左边等于 ， 即左边等于； 所以左边增乘的项为， 故选：B. 【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【解答过程】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【方法点拨】 数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命 题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题. 【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）． 【解题思路】先验证时，等式成立，再假设时，，由此需推出时，等式也成立，由此可得结论成立. 【解答过程】证明：①当 时，，，等式成立； ②假设 时，， 则时， ， 即时，等式成立， 综合①②可知，（，）． 【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）． 【解题思路】根据数学归纳法的步骤即可完成证明 【解答过程】证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立， 即， 那么当时， ． 故当时，等式也成立． 综上可知等式对任意正整数n都成立． 【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*). 【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可. 【解答过程】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立. （2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1) [2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 由（1）（2）知 ... ...
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