中小学教育资源及组卷应用平台 第4讲 导数的概念及其运算 知识点一 函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二 函数在某点处的导数(瞬时变化率) 当Δx→0时，无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ . 知识点三 导数的物理意义与几何意义 1．割线斜率与切线斜率 直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为曲线在点A处的切线AD．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于在点A的切线AD的斜率k，即k＝f ′(x0)＝ . 2．导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 知识点四 几个常用函数的导数 f(x)＝kx+b f ′(x)＝ f(x)＝ f ′(x)＝ f(x)＝ f ′(x)＝ 知识点五 基本初等函数的导数公式 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝ f(x)＝sin x f ′(x)＝ f(x)＝cos x f ′(x)＝ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f(x)＝ex f ′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f(x)＝ln x f ′(x)＝ 知识点六 导数的运算法则 已知为可导函数,且. 1． 2．,特别地,. 3．. 知识点七 复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作. 2．复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数,它的导数与函数的导数间的关系为,则,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【课堂训练一】 1.函数在区间上的平均变化率为（ ） A．3 B．2 C． D． 2.已知函数，则（ ） A．3 B．5 C．7 D．8 3.（多选题）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 4.已知函数f(x)＝x2＋，则＝ . 5.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4（s的单位：m）的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度． 6.求曲线在点（处的切线的倾斜角． 7.函数f(x)＝，则f ′(3)等于（ ） A． B．0 C． D． 8.若,则的值为( ) A． B． C． D． 9.（多选题）以下运算正确的是（ ） A． B． C． D． 10.直线能作为下列函数图象的切线的是（ ） A． B． C． D． 11.点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为 . 12.过点作曲线的切线，写出一条切线方程： . 13.已知函数，若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程； 14.若函数，函数. (1)若函数在处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数的值； (2)若直线与，的图象都相切，求实数的值. 【课堂训练二】 1.已知函数，若在处的函数值与导数值之和等于，则的值等于（ ） A． B． C． D．不存在 2.函数y＝x2cos 2x的导数为（ ） A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 3.已 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
