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课件网) 3.1 多项式的因式分解 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系———互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 3.培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】因式分解的概念. 【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 1.多项式的乘法有几种形式？ 单项式乘以多项式：a(m+n)=am+an 多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些？ 讨论 （1）21等于3乘那个数？ （2）x2-1等于x+1乘哪个多项式？ 21=3×7. 因为( x+1 )( x-1 )=x2-1， 所以x2-1=( x+1 )( x-1 ). 对于整数21于3，有整数7使得21=3×7，我们把3叫做21的一 个因数，同理7也是21的一个因数. 类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=( x+1 )( x-1 )成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，x-1也是x2-1的一个因式. 定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解(也叫做把这个多项式分解因式). 一般地，对于两个多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式． 单项式可看作只有一项的多项式 ↗ 因式分解的特点： 分解的结果一定是积的形式. 每个因式必须是整式. 因式要分解到不能分解为止. x2 － 1 ( x + 1 )( x － 1 ) 因式分解 整式乘法 x2 － 1 = ( x + 1 )( x － 1 ) 因式分解等式的特征： 左边是多项式， 右边是几个整式的乘积. 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互逆的变形，即 【例1】下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ (1) a2+2ab + b2= (a+b)2; (2) m2+m-4=( m +3 ) ( m-2 )+2. 是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab + b2表示成了多项式a+b与a+b的积的形式. 不是.因为( m +3 ) ( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式. 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 1、下列从左到右的变形中是因式分解的有 ( ) ① x2 － y2 － 1 ＝ (x ＋ y)( x － y) － 1； ② x3 ＋ x ＝ x (x2 ＋ 1)； ③ (x － y)2 ＝ x2 － 2xy ＋ y2； ④ x2 － 9y2 ＝ (x ＋ 3y)(x － 3y)． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 B 【例2】检验下列因式分解是否正确. （1）x2+xy=x( x+y )； （2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)； （3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ). 解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确； （2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确； （3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正确. x2 + x = x2(1 + ) 2、在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 3、若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a( x﹣2 )( x + 3 )，求 a，b 的值. 解：因为 x2 + ax + b = a( x﹣2 )( x + ... ...
