第八章 §8.3 培优课 与球有关的内切、外接问题 课时练（含答案）

培优课　与球有关的内切、外接问题 1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A．6π B．12π C．8π D．16π 2．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B. C. D. 3．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为(　　) A. B. C. D. 4．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其底面半径的(　　) A.倍 B．2倍 C．2倍 D．3倍 5．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　) A. B. C. D．2π 6．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为(　　) A. B. C．2 D. 7.某同学在实践课上制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的表面积为_____． 8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A－EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为_____． 9.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现． (1)求圆柱的体积与球的体积之比； (2)求圆柱的表面积与球的表面积之比． 10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度； (2)求该长方体外接球的表面积． 培优课　与球有关的内切、外接问题 1.D　2.C 3.B　[设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，则圆锥的轴截面如图所示， 设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝＝，∴∠OAM＝30°， ∴R＝AH·tan∠OAM＝r， 则AB＝2R＝2r， 则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2， 因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为＝＝.] 4.B　[设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R， 则R2＝2＋r2. 因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l＝2r. 所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2， 所以4πR2＝4π ＝4×2πr2， 所以2＋r2＝2r2， 所以h2＝4r2，所以＝2.] 5.A　[设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝×3， 解得r＝1，h＝＝2， 设内切球的半径为R， 则＝， ∴R＝， V＝πR3＝π3＝.] 6.AB　[因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3， 所以底面边长为， 因为外接球的表面积为8π， 所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略). ①当球心在线段PO上时， 计算得PO＝r＋ ＝＋＝， 所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝； ②当球心在线段PO的延长线上时， 计算得PO＝r－ ＝－＝， 所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝.] 7.64π 8. 解析　由题意，折叠后的四面体A－EFG如图所示， 设正方形边长为a，四面体A－EFG外接球的半径为r，则AG＝a， EG＝FG＝， 易知在折叠后的四面体A－EFG中，GA，GE，GF两两垂直， 所以四面体A－EFG的外接球半径 r＝＝a，联立4πr2＝，解得a＝. 9.解　(1)设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h＝2R，r＝R， ∴V圆柱＝πr2h＝2πR3，V球＝πR3， ∴＝＝. (2)∵S圆柱＝S侧＋2S圆＝2πrh＋2πr2＝6πr2， S球＝4πr2，∴＝＝. 10.解　(1)设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1＝ ... ...