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课件网) 第三章 圆锥曲线及其标准方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 问题情境 双曲线是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质，本节我们将类比椭圆研究方法研究双曲线的有关问题。 回顾旧知 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于｜｜）的点的轨迹叫做椭圆. 焦点在x轴： 焦点在y轴： 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 问题1： 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 新知探究 探究1：如图，在直线l上取两个定点A、B, P是直线l上的动点，在平面内，取定点F1、F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆. 椭圆 （1）当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹; （2）如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是 . 新知探究 改变条件：如图，当点P在线段AB外运动时，在|F1F2|>|AB|的条件下，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状 新知探究 当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB| 当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|; 总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. ||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线 概念生成 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 2.双曲线的定义 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距=2c， 焦距的一半称为半焦距. M F1 F2 | |MF1| - |MF2| |= 2a (0<2a<|F1F2|) 概念辨析 （1）如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？ 思考： （3）如果把定义中的“非零常数”（小于|F1F2|）变为下列情况，轨迹是什么？ ① 2a=|F1F2|： ② 2a>|F1F2|: 两条射线 不表示任何轨迹 F1 F2 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. （2）定义中为什么强调距离差的绝对值为非零常数？ 如果等于0，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 新知探究 探究2：类比求椭圆标准方程的推导过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程 建系：取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy. 设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(-c，0),(c，0). 列式：设||MF1|-|MF2||=2a(a为大于0的常数)， 则 M F1 F2 O y x 新知探究 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗 M F1 F2 O y x 新知探究 3.双曲线的标准方程 焦点在x轴上： 焦点坐标： 焦点在y轴上： F1(-c,0)、F2(c,0) a,b,c关系： c2=a2+b2 F1(0,-c)、F2(0,c) M F1 F2 O y x O F2 F1 y x M 新知探究 问题：双曲线标准方程从形式上看有什么的特征？ ① 方程用“－”号连接，左边是两个分式的平方差，右边是1； ② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定； ③ 如果 x2 的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果 y2 的系数是正的，则焦点在y轴上. 记忆口诀： 化成标准式， 焦点跟着正项走 根据上述讨论，判断下列方程是否是双曲线，焦点位置在哪个轴上？ 典例讲解 例1 已知方程 表示双曲线，求m的取值范围. 典例讲解 例2 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P与F1、F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程. 方法归纳 (1)求双曲线标准方程的步骤： ①定位:确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式. ②定量:确定a2、 ... ...
