( 2017年高考“最后三十天”专题透析 ) ( 练习 6 ×× 抛物线 ) ( 知识梳理 ) ( 寒假集训 （45分钟） ) ( 经典集训 ) 1.若点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 2.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D. 3.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点； (2)焦点在直线上. 4.设抛物线与过焦点的直线交于两点，则的值是( ) A. B. C. D. 5.已知点在抛物线上，则的最小值是( ) A. B. C. D. 6.已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为，若，则_____. 7.已知抛物线，直线过点与抛物线交于两点，以线段的长为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 8.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则称为抛物线的焦点弦，设. 求证：(1)，； (2)； (3)以线段为直径的圆与抛物线的准线相切. 9.抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（ ） A． B． C． D． 10.直线与抛物线有且只有一个公共点，则_____. ( 巩固集训 ) 1.如图，过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线交抛物线于两点，求证：直线的斜率是定值. 2.已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则（ ） A． B． C． D． 3.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点. 4.已知抛物线过点． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于两个不同的点均与点不重合，设直线的斜率分别为，，求证：为定值． 5.如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于 . (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离； (2)当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数. 6.(多选题)抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接.下列说法正确的是( ) A. B. C.是线段的一个三等分点 D. ( 参考答案 ) ( 经典集训 ) 1． 【答案】C 【解析】∵点到点的距离比它到直线的距离小， ∴点到直线的距离等于它到点的距离. 根据抛物线的定义，可知点的轨迹是以点为焦点. 以直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为，可得，得， ∴抛物线的标准方程为， 即点的轨迹方程为，故选C. 2． 【答案】 【解析】如图，由抛物线定义知， 则所求距离之和的最小值转化为求的最小值， 则当三点共线且在中间时，取得最小值. 又，， ∴. 3． 【答案】（1）或；（2）或 【解析】(1)法一 ∵点在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为或. 把点的坐标分别代入和a， 得，即，. ∴所求抛物线的标准方程为或. 法二 抛物线的方程可设为或. 把点分别代入，可得，. ∴所求抛物线的标准方程为或. (2)令得；令得. ∴抛物线的焦点为或. ∴所求抛物线的标准方程为或. 4． 【答案】B 【解析】由得焦点坐标为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由消得， 设，则，. . 当直线的斜率不存在时， 易求得，. 所以. 综上，的值是. 5． 【答案】 【解析】因为点在抛物线上，所以a. 因为， 所以当时，取最小值. 6． 【答案】 【解析】如图，由的斜率为， 知，又，∴为的中点. 过点作垂直准线于点， 则，∴.∴. ∴为焦点，即，∴. 7． 【答案】 【解析】由题意知直线的斜率存在且不为，设为，则直线的方程为， 由方程组消去得， 由得. 设，则，， 又故. 由题意知，∴， ∴，∴，解得. ∴所求直线方程为，即. 8． 【答案】见解析 【解析】如图所示. (1)抛物线的焦点为，准线方程为. 设直线的方程为，把它代入， 化简，得.∴， ∴. (2)根据抛物线定义知， ∴ . (3)设中点为，过分别作准线的垂线， 垂足分别为 ... ...
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