9.1正弦定理与余弦定理 练习 2023-2024学年高中数学人教B版（2019）必修第四册（含解析）

9.1正弦定理与余弦定理 练习 一、单选题 1．已知的角，，的对边分别为，，，且，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A．36 B．18 C．12 D．9 3．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，且，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．的顶角、、的对边长依次等于、、，则（ ） A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 6．在中，已知，则角为（ ） A． B． C． D． 7．若中，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 8．在中，，，，则等于（ ） A．60°或120° B．30°或150° C．120° D．60° 二、多选题 9．下列条件中，能推导出是钝角三角形的是（ ） A．在平面直角坐标系中，，， B． C． D． 10．下列表述正确的有（ ） A．在平行四边形中，． B．在中，若，则△是钝角三角形． C．在中，，边上的高等于，则． D．函数的最小正周期为 11．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 12．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 三、填空题 13．三角形面积公式 （1）三角形的面积等于两边及两边夹角的正弦值之积的一半，即 = ． 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设，则有所以．同理，的面积还可以表示为和 （2）（请用正弦定理自行证明）． 14．在中，内角所对的边分别为，且，，则的面积的最大值为 ． 15．在中，若，，则 . 16．三条直线、、两两平行，到的距离为，到的距离为，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为 . 四、解答题 17．在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到，边长精确到）： (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 18．已知的内角的对边分别为. (1)证明：； (2)点在边上，，求. 19．在中，角所对的边分别为，，，且. (1)求证：角成等差数列； (2)若，求面积的最大值. 20．已知在中，角的对边分别是，若. (1)求证：为等腰三角形； (2)若，且的面积为4，求的周长. 21．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示： (1)求1号机器人和2号机器人之间的距离； (2)若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长． 22．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． （1）若，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到）； （2）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？ 参考答案： 1．C 【分析】由已知条件结合余弦定理求解即可 【详解】解：因为， 所以由余弦定理得，， 因为， 所以， 故选：C 2．B 【分析】设出菱形的边长，在三角形中，用余弦定理表示出，利用菱形的面积公式列式，结合二次函数的性质求得菱形面积的最大值. 【详解】设菱形的边长为，在三角形中，，有余弦定理得.所以菱形的面积，故当 ... ...