8.2三角恒等变换 练习——2023-2024学年高中数学人教B版（2019）必修第三册（含解析）

8.2三角恒等变换 练习 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 3．已知不等式对于，恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 4．已知关于的方程在区间上有两个实数根，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数的图象的一个对称中心是 A． B． C． D． 6．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个区间是（ ） A． B． C． D． 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 8．若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，以下说法中，正确的是（ ） A．函数关于点对称 B．函数在上单调递增 C．当时，的取值范围为 D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为 10．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则（ ） A．函数在上单调递增 B．若，则 C．若，则的最小值为0 D．若，则的最小值为 11．如果函数的最大值为，那么该三角函数的周期可能为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数，则（ ） A．最小正周期为 B．关于直线对称 C．在上单调递减 D．最大值为 三、填空题 13．，，则 ． 14． ． 15．若，则 . 16．方程在区间上的解集为 . 四、解答题 17．求值： （1） －； （2） 18．化简求值 (1)已知，求的值 (2)已知，且．求 19．如图，有三个相同的正方形相接，求证：． 20．求证三角恒等式： 21．如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设. (1)当，时，求张角的正切值； (2)当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用. 22．如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记． (1)试用θ分别表示矩形和的面积； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用． 参考答案： 1．A 【分析】由二倍角公式可得，整体利用诱导公式可得，即可得解． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．C 【分析】根据三角恒等变换化简函数，再由图象的平移得到函数的解析式，利用函数的值域，可知的值为函数的最小正周期的整数倍，从而得出选项. 【详解】函数， 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象； 再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为. 若，则且，均为函数的最大值， 由，解得； 其中 是三角函数最高点的横坐标， 的值为函数的最小正周期的整数倍，且. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题. 3．B 【解析】不等式对于，恒成立，等价于不等式对于，恒成立，令，求，的最小值即可． 【详解】由题意，令， 化简可得： ， ， 当时，函数取得最小值为． 实数的取值范围是，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题． 4．C 【分析】将方程化简可得，令，问题转化成函数与函数在区间上有两个实根，，且，画出的图象 ... ...