1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第三课（学案+练习）（含解析）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第三课】 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第三课】 扩展1 用空间向量解决与距离、夹角有关的最值问题 （1）几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；（2）代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值. 例2（2023·河北邢台高二期末） 1．在空间直角坐标系中，已知，，，，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为 . 【方法总结】 与距离、夹角有关最值问题的求解思路 1、建立函数法：很多情况下把最值问题转化为目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.根据标函数特征，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）. 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，如：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等.如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径. 【举一反三1-1】（2023·山东泰安高二期末） 2．已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ） A． B．二面角的大小为 C．点到平面距离的取值范围是 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【举一反三1-2】（2023·四川泸州高二期末） 3．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 ． 【举一反三1-3】（2023·山西吕梁高二期末） 4．在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，，.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为 . 【举一反三1-4】（2023·湖北黄石高二期末联考） 5．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 扩展2 用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题 解决与距离、夹角有关的探索性问题的基本思路： （1）猜测法：猜测满足的条件，然后以此为基础结合题目中的其他条件进行推理计算结论成立，或者利用题目条件用变量设出条件，再结合结论逆向推导出变量的取值． （2）逆推法：利用结论探求条件；如果是存在型问题，那么先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在． 例1（2023·安徽省宣城中学高二期末） （2023秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习） 6．如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【方法总结】解决距离、夹角有关的探索性问题的基本步骤 1.借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数（变量）表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在． 2.与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解．求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式． 3.一般步骤：（1）假设存在（或结论成立）；（2）建立空间直角坐标系，设（求）出相关空间点的坐 ... ...