4.1.1n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质 第一课（学案+练习）（含解析）

4.1.1 n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质【第一课】 【课标要求】 1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 【明确任务】 1.理解n次方根、n次根式的概念.【数学抽象】 2.能正确运用根式运算性质化简求值.【数学运算】 3.指数幂的运算性质.【数学运算】 1.二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数.当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，无意义. 2.实数的乘方 如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥2）. 核心知识点1: 次方根与分数指数幂 知识点1 n次方根 一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． 当有意义时，式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号表示．例如，，，． （2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号表示，叫做a的n次算术根，负的n次方根用符号表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成．例如，，，． 负数没有偶次方根． （3）0的任何次方根都是0，记作． 辨析 ①16的4次方根为2；②2是16的4次方根．两种说法的异同：16的4次方根有两个，且互为相反数，即±2，因而①错；2是16的4次方根是正确的，即，当然也是16的4次方根． 理解 为什么负数没有偶次方根？ 因为当n为偶数时，一定为非负实数，所以负数没有偶次方根． 解读：和的区别 运算方法 ①；②当n是奇数时，；当n是偶数时， 性质 ①是实数的n次幂，其中a的取值由n的奇偶决定；②是实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶的限制，但这个式子的结果受n的奇偶的影响 注意 根式的化简、求值一定要看清根指数是奇数还是偶数． 例1.（2023上·江苏连云港·高一江苏省板浦高级中学校考期中）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 归纳总结: 在根式符号中，注意以下几点： （1），； （2）当n为奇数时，对任意都有意义； （3）当n为偶数时，只有当时才有意义． 【举一反三】（多选）[福建泉州2022高一期中] 1．下列各式错误的是（ ） A．＝－3 B．＝a C．＝2 D．＝2 核心知识点2： 有理数指数幂的运算性质 对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质． （1）； （2）； （3）． （1）有理数指数幂的运算性质除上述之外，还有如下性质： ①；②． 解读： （1）我们规定，正数的正分数指数幂的意义是．于是，在条件，m，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式． （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，． 例如，，． （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． （4）分数指数不能随意约分，约分后可能因改变底数a的取值范围而造成错误．例如，约分后，而在实数范围内是无意义的． 例2 （多选）下列各式中一定成立的有（ ） A． B． C． D． 【解析】，A错误；，B正确；，C错误；，D正确．故选BD． 【答案】BD 例3.（2013上·福建厦门·高一统考期中）下列各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 归纳总结: 1.幂的运算的常规方法 （1）化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； （2）化根式为分数指数幂； （3）化小数为分数． 2．分数指数 ... ...