2023-2024学年天津市四校联考高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.设，，向量，，且，则的值为( ) A. B. C. D. 3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为( ) A. B. C. D. 4.在四棱柱中，设，，，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为( ) A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 6.设，分别是椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，且的最小值为，则椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 7.已知为等比数列的前项和，，，则( ) A. B. C. D. 8.设，分别是双曲线的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 9.直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知椭圆的短轴长为，则实数的值为_____． 11.已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则的值为_____． 12.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为_____． 13.过原点的一条直线与圆：相切，交抛物线于点，若，则的值为_____． 14.已知圆：，直线：，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为_____． 15.在数列中，，且，则 _____． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知圆经过点和，且圆心在直线上， Ⅰ求圆的标准方程； Ⅱ过点作圆的切线，求直线的方程． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值； Ⅲ求点到平面的距离． 18.本小题分 已知为数列的前项和，且，． Ⅰ求数列与的通项公式； Ⅱ求数列的前项和； Ⅲ设数列的前项和为，求数列的前项和． 19.本小题分 已知圆：经过点，离心率为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ直线与椭圆交于点异于顶点与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程． 20.本小题分 已知是等差数列，是递增的等比数列，，． Ⅰ求数列和的通项公式及； Ⅱ若数列满足，， (ⅰ)求证：为等比数列； (ⅱ)设，对，都有恒成立，求实数的取值范围． 答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，是较易题． 把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，求出倾斜角的大小． 【解答】 解：直线即， 故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于， 则，且，故， 故选：． 2.【答案】 【解析】解：向量，，且， 显然，均不为， 则，解得，， 故． 故选：． 根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 故选：． 求得抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，计算可得所求值． 本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 4.【答案】 【解析】解：四棱柱中，，，，，， 所以 ． 故选：． 用基向量、和表示即可． 本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题． 5.【答案】 【解析】解：圆：转换为标准式为：， 圆截直线所得线段的长度是， 故，解得负值舍去； 故圆为；圆：； 圆心距，半径之差为； 故两圆相内切． 故选：． 直接利用点到直线的距离公式求出圆的方程，进一步利用圆和圆的位置关系求出结果． 本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，点到 ... ...
