4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算 第三课（学案+练习）（2份打包）（含解析）

【第三课】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算 扩展1:与对数有关的最值问题 例1.（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为 【答案】 【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以且， 所以， 当时等号成立. 故答案为： 【方法总结】基本不等式式求解最值问题的常用方法.可以正用、逆用，需要注意等号成立的条件. （2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期中） 1．已知，若．则的取值范围是 ． 2．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 dm． 扩展2: 用换底公式证明等式 例2.设，且，求证： 【答案】证明见解析. 【分析】首先设，得到，，，根据得到，再利用换底公式即可证明. 【详解】设，，则，，. 因为，所以， 即. 所以，即. 【方法总结】利用换底公式计算、化简、求值与证明的一般思路： 思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． （2023下·高一课时练习） 3．已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． （2023·全国·高一随堂练习） 4．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 扩展3: 与对数有关的数学文化题 例3.（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种流行病累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大的确诊病例数，当时，约为（）（ ） A．69 B．67 C．65 D．63 【答案】B 【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可. 【详解】依题得到，即， 两边取对数的， 即，即， 则. 故选：B 【方法总结】数学文化主要取决于：数学时事、数学名人、数学游戏、数学名著、数学命题、数学猜想、数学图形等. （2023上·全国·高一专题练习） 5．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，） （1991·全国·高考真题） 6．设命题甲为，命题乙为．那么（ ） A．甲是乙的充分条件．但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 （2022·天津·统考高考真题） 7．化简的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 （2022·浙江·统考高考真题） 8．已知，则（ ） A．25 B．5 C． D． （2021·全国·统考高考真题） 9．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 （2020·全国·统考高考真题） 10．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a