2.4.1 圆的标准方程【第三课】 扩展1 圆对称性有关问题 圆有很好的对称性，运用圆的对称性是解决问题的重要视角. 体现数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养. 例1（2023·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知两圆半径相等，求得r，且可知两圆圆心关于直线对称，即可结合直线垂直的条件求得a的值，即得答案. 由题意可知圆与圆的半径相等， 故，且关于直线对称， 故直线与直线垂直，则， 故选：A 【方法总结】圆对称性问题解决思路 （1）求已知圆关于某点对称的圆，所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等． （2）两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点． 【举一反三1-1】（2023·河北邯郸高二期中） 1．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-2】（2023·云南临沧·高二期末） 2．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-3】（2023·四川成都·高二统考期末） 3．已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-4】（2023·山东菏泽高二期中） 4．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 扩展2 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题，综合性较强，既要有几何视角借助相关几何性质、也要有函数或基本不等式观点，处理问题.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 例2（2023·广东佛山·高二联考期中）已知实数，满足方程.求： （1） 的最大值和最小值； （2） ； （3） 的最大值和最小值. （1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即， 易知圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2） 可理解为表示圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 【方法总结】解决与圆有关的最值问题的基本思路 （1）形如形式的最值问题，可转化为过点和（a，b）的动直线斜率的最值问题（需结合直线与圆的位置关系解题）． （2）形如形式的最值问题，可转化为动直线在y轴上的截距的最值问题（需结合直线与圆的位置关系解题）． （3）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离的最值问题． （4）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离的平方的最值问题． 【举一反三2-2】（2023·贵州遵义·高二期中） 5．已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【举一反三2-2】（2023·山东菏泽高二期中） 6．已知过点(0，2)的圆的圆心在直线上，则圆的面积最小时圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2-3】（2023·江苏南京·南京师大附中高二月考） 7．若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ） A．的范围是 B．的范围是 C．的最大值为1 D．的范围是 【举一反三2-4】（2023·湖北黄石高二期中） 8．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为 【举一反三2-5】（2023·江西赣州高二期末） 9．已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于 . 【举一反三2-6】（2023·北京通州高二期中） 10．实数，满足，则的最大值和最小值分别为 ． （北京高考） 11．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A．4 B．5 C．6 D．7 （全国高考） 12．直线分别与轴，轴交于 ... ...
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