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课件网) 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第1课时 第十七章 一元二次方程 一、学习目标 1.熟知一元二次方程的根与系数的关系 2.会运用根与系数的关系解决有关问题（重点） 二、新课导入 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过什么来判断方程根的情况？ 判别式 ( =b2-4ac)， >0，方程有两个不等实根； =0，方程有两个相等实根； <0，方程没有实数根. 思考：若方程有实数根x1,x2，写出x1,x2的值，那么x1+x2,x1x2和a、b、c有什么关系？ 三、概念剖析 填一填： 一元二次方程 两 根 x1+x2 x1x2 x1 x2 x2 +3x -4 =0 2x2 -x -6 =0 5x2 +3x -2 =0 -4 1 -3 -4 -1.5 2 0.5 -3 -1 0.4 0.6 -0.4 猜想：根据观察，方程ax2+bx+c=0(a≠0)如果是x1、x2，那么x1+x2= ,x1x2= . 能证明你的猜想吗？ 三、概念剖析 韦达定理： 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2= , x1x2= 证一证： x1+x2 x1·x2 例1.小明某天的作业如下： (1)x2+2x-12=8x+3 ，则x1+x2=(-2) ,x1x2=(-12) (2)x2-2x+3=0,则x1+x2=(2) ,x1x2=(3) (3)3x2+7x-9=0,则x1+x2=(7) ,x1x2=(-9) 小明的答案是否正确？若错误，写出正确答案. 提示：对于ax2+bx+c=0 (a 0， ≥0)，x1+x2= ,x1x2= 四、典型例题 解：(1)方程化为一般式：x2-6x-15=0 =b2-4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0 故方程有两个不相等根 ∴x1+x2=6 ,x1x2=-15 ∴(1)答案错误 x1+x2=6 ,x1x2=-15 (2)x2-2x+3=0,则x1+x2=(2) ,x1x2=(3) 四、典型例题 (2) =b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0 故方程没有实数根 ∴不存在x1+x2,x1x2 ∴(2)答案错误 (3) =b2-4ac=72-4×2×(-8)=113>0 故方程有两个不相等根 ∴x1+x2=-3.5,x1x2=-4 ∴(3)答案错误 (3)2x2+7x-8=0,则x1+x2=(3.5) ,x1x2=(-4) 不存在x1+x2,x1x2 -3.5 注意事项： (1)方程要化为一般形式； (2) ≥0； (3)x1+x2= 【当堂检测】 1.在下列方程中，以3，-4为根的一元二次方程是（ ） A.x2-x-12=0 B.x2+x-12=0 C.x2-x+12=0 D.x2+x+12=0 B 【当堂检测】 2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根. (1)x2+5x+4＝0(1,4); (2)x2-6x-7＝0(-1,7); (3)2x2-3x+1＝0(0.5,1); (4)3x2+5x-2＝0( ,2); (1)x2-8x+11＝0(3,5); 不是 是 是 不是 不是 例2.一元二次方程x2 (m 1)x 2m 1 0, (1)求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？ 解：(1)a=1，b= (m 1)，c=2m 1 △=b2-4ac=[ (m 1)]2－4×1×(2m 1)=m2 6m 5 ∵两根互为相反数 ∴两根之和=m 1=0, 解得m 1, 此时△=m2 6m 5=(-1)2 6×(-1) 5=12>0,方程有两个不等根 ∴m 1时,方程的两根互为相反数. 四、典型例题 两数之和为0 方程形如ax2+bx+c=0 (a 0， ≥0)，若两根互为相反数,则b=0 例2.一元二次方程x2 (m 1)x 2m 1 0, (2)求m满足什么条件时,方程的两根互为倒数？ (2)∵两根互为倒数 ∴两根之积=2m 1=1 解得m 1 此时△=m2 6m 5=12 6×1 5=0,方程有两个相等的根 ∴m 1时,方程的两根互为倒数. 四、典型例题 两数之积为1 方程形如ax2+bx+c=0 (a 0， ≥0)，若两根互为倒数,则a c 例2.一元二次方程x2 (m 1)x 2m 1 0, (3)求m满足什么条件时,方程的一根为零？ (3)∵方程一根为0 ∴两根之积=2m 1=0 解得m 0.5 此时△=m2 6m 5=(0.5)2 6×0.5 5=2.25>0,方程有两个不等根 ∴m 0.5时,方程的一根为零 四、典型例题 任何一个数与0相乘结果为0 两根之积为0 方程形如ax2+bx+c=0 (a 0， ≥0)，若一根为0,则c=0 【当堂检测】 3.已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2，则此方程的另一个根和k的值分别是（ ） A.3和2 B.3和-2 C.-3和-2 D.2和3 4.若x的一元二次方程x2-(2m-1)x-6=0的两根互为相反数,则k . C 0.5 5.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不等实根， (1)求m的范围； ... ...
