湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期2月联考数学试题（含答案）

长沙市部分中学2023-2024学年高三下学期2月联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ） A．40 B．45 C．50 D．60 3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．20 B．23 C．24 D．28 4．已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 5．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（ ） A． B．1 C． D． 6．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却2min后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．牛奶的温度降至还需4min D．牛奶的温度降至还需2min 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（ ） A．24 B．12 C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中为坐标原点，则（ ） A． B． C． D． 10．已知A，C两点位于直线两侧，B，D是直线上两点，且的面积是的面积的2倍，若，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．在单调递减 C．在有且仅有两个零点 D．是周期函数 11．若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（ ） A．一定为正数 B．2是的一个周期 C．若，则 D．若在上单调递增，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．二项式的展开式中，的系数为_____． 13．已知样本数据、、、、都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为_____． 14．已知椭圆的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则椭圆的离心率_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分） 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲、乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立． （1）比赛开始，求甲先得一分的概率； （2）求甲获胜的概率． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）若，求在区间上的最小值和最大值； （2）若，求证：在处取得极小值． 17．（本小题满分15分） 如图1，已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接． （1）若M为的中 ... ...