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课件网) 第 一章 三角形的证明 第一章 三角形的证明 1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明的能力、规范证明的书写格式。（难点） 学习目标 1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=_____. 2.如右图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为_____. 7 30° 新课导入 知识回顾 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ A B C 情景导入 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗 知识讲解 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB． A C B P M N 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）； ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）． 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． P A B ∟ 温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 文字语言： 符号语言： 例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？ PA=PB AC=BC 你能写出这个定理的逆命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC， ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）， ∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上． B P A C 性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． A C B P . （方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC. ∵C为AB的中点， ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： 如图,∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). A B P 温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一． 1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60 °，那么∠EDC= °． E D A B C 7 60 随堂训练 2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长. B A E D C 解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE. ∵△BCE的周长等于50， ∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50， ∴AC+BC=50. ∵AC=27，∴BC=23. 比一比：你的写作过程完整吗？ 3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC. P B D C A 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线上. ∵BD=CD， ∴ D在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD是线段BC的垂直平分线. ∵P是AD上一点 ， ∴PB=PC. 1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明 3.两个定理之间的区别与联系 课堂小结 ... ...
