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课件网) 第 17章 一元二次方程 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 学 习 目 标 1 2 理解一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 新课导入 复习交流 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) 当b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. 当b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. 当b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 知识讲解 ★ 探索一元二次方程的根与系数的关系 算一算：解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 1 2 3 x1+x2=-3， x1 · x2=-4 x1+x2=5， x1 · x2=6 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？ 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1, x2,那么x1+x2= , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0 x2+px+q=0 x1+x2= -p ,x1 ·x2=q 猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 下列方程的两根和与两根积各是多少？ ⑴ x2－3x+1=0 ； ⑵ 3x2－2x=2； ⑶ 2x2+3x=0； ⑷ 3x2=1 . 注意：在使用根与系数的关系时: (1)不是一般式的要先化成一般式； (2) 在使用x1+x2= 时，“－ ”不要漏写. ax2+bx+c=0(a≠0) 两边都 除以a 例1 ★ 一元二次方程的根与系数的关系的应用 解：根据根与系数的关系可知： 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2 = 即x2= 由于x1+x2=2+ = 所以k=-7. 所以方程的另一个根是 ，k=-7. 例3 若关于x的方程x2＋(a-1) x＋a2＝0的两个根互为倒数，求的值． 例4 解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1． 由根与系数的关系，得a2＝1． 解得a＝±1． 当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a＝1．所以a＝-1． 总结 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 常见的变形: 2．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( ) A．2 B．－2 C．4 D．－3 随堂训练 1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( ) A．－10 B．10 C．－16 D．16 3．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( ) A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1 A D D 4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = . 5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则 p = , q= . 1 -2 -3 6.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4. （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：（1）根据根与系数的关系可得， 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得k=-7. （2）因为k=-7, 所以 7．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足 ＝16＋x1x2，求实数k的值． 解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k ... ...
