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课件网) 第二章 整式的乘法 2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式 学 习 目 标 1 3 2 会根据特殊形式的多项式相乘,推导出平方差公式,了解公式的几何背景. 掌握平方差公式的结构特征.(重点) 能灵活运用平方差公式进行运算.(难点) 新课导入 小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克,小霞同学马上说:“应付99.96元。”售货员很惊讶:“你真是个神童!”小霞同学说:“过奖了,我只是利用了数学上刚学过的一个公式而已!” 知识讲解 动脑筋 计算下列各式,你能发现什么规律: (, = , ( (, . 12 22 32 42 我们用多项式乘法来推导一般情况 ( ) = = 结论 叫做平方差公式. 我们把 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 公式变形: 3.(- m+n) (- m - n) = m2 - n2. 说一说 如图(a),将边长为a的大正方形 (a) 剪去一个边长为b 的小正方形, 并将剩余部分沿虚线剪开, 得到两个长方形, 再将这两个长方形拼成如图(b). 你能用这两个图来解释平方差公式吗? (b) 平方差公式有什么特点? (a+b)(a- b)= a2- b2 左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数 右边是相同项的平方减去相反项的平方 注意: ①公式中的和单项式,也可以是多项式.②只有符合公式结构特征的才能运用公式,否则仍用多项式相乘法则. 对于满足平方差公式特征的多项式的乘法,可以利用该公式进行简便计算. 运用平方差公式计算: (1)(); (2)(). 分析:可以把“2”看成平方差公式中的“”,“1”看成“”. 分析:可以把“”看成平方差公式中的“”看成“”. 例1 解: (1) = = 41. (2)) = 运用平方差公式计算: (1) ; (2)(). 例2 (2) ( = ( = = () 计算: 1 002 × 998 . 解: 1 002 × 998 = (1 000 +2)(1 000-2) = 1 0002 -22 = 1 000 000 - 4 = 999 996 例3 随堂训练 1.下列运算中,可用平方差公式计算的是( ) A.(x+y)(x+y) B.(-x+y)(x-y) C.(-x-y)(y-x) D.(x+y)(-x-y) C 2.计算(2x+1)(2x-1)等于( ) A.4x2-1 B.2x2-1 C.4x-1 D.4x2+1 A 3.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的 面积,差是_____. 10 4.利用平方差公式计算: (1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a); (3)(-7m+8n)(-8n-7m). 解:(1)原式=(3x)2-52=9x2-25. (2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2. (3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2. 5.先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2. 原式=5×12-5×22=-15. 解:原式=4x2-y2-(4y2-x2) =4x2-y2-4y2+x2 =5x2-5y2. 当x=1,y=2时, 6.计算: 20212 - 2020×2022. 解: 20212 - 2020×2022 = 20212 - (2021-1)×(2021+1) = 20212 - (20212-12 ) = 20212 - 20212+12 =1. 7.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+ x+x2)=1-x3,(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4. (1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)= _____;(n为正整数) (2)根据你的猜想计算: ①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=_____; ②2+22+23+…+2n=_____(n为正整数); ③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=_____; 1-xn+1 -63 2n+1-2 x100-1 (3)通过以上规律请你进行下面的探索: ①(a-b)(a+b)=_____; ②(a-b)(a2+ab+b2)=_____; ③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=_____. a2-b2 a3-b3 a4-b4 8.给出下列算式: 32-12=8 =8×1; 52-32=16=8×2; 72-52=24=8×3; 92-72=32=8×4. (1) ... ...