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课件网) 第二章 整式的乘法 2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式 学 习 目 标 1 3 2 会根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景. 掌握平方差公式的结构特征.（重点） 能灵活运用平方差公式进行运算.（难点） 新课导入 小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，小霞同学马上说：“应付99.96元。”售货员很惊讶：“你真是个神童！”小霞同学说：“过奖了，我只是利用了数学上刚学过的一个公式而已！” 知识讲解 动脑筋 计算下列各式，你能发现什么规律： (， = ， ( (， . 12 22 32 42 我们用多项式乘法来推导一般情况 ( ) = = 结论 叫做平方差公式. 我们把 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 公式变形： 3.(－ m+n) (－ m － n) = m2 － n2. 说一说 如图（a），将边长为a的大正方形 （a） 剪去一个边长为b 的小正方形， 并将剩余部分沿虚线剪开， 得到两个长方形， 再将这两个长方形拼成如图（b）. 你能用这两个图来解释平方差公式吗？ （b） 平方差公式有什么特点？ (a+b)(a－ b)= a2－ b2 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 右边是相同项的平方减去相反项的平方 注意： ①公式中的和单项式，也可以是多项式．②只有符合公式结构特征的才能运用公式，否则仍用多项式相乘法则. 对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算. 运用平方差公式计算： （1）()； （2）(). 分析：可以把“2”看成平方差公式中的“”，“1”看成“”. 分析：可以把“”看成平方差公式中的“”看成“”. 例1 解： （1） = = 41. （2）) = 运用平方差公式计算： （1） ； （2）(). 例2 （2） ( = ( = = () 计算： 1 002 × 998 ． 解： 1 002 × 998 = (1 000 +2)(1 000-2) = 1 0002 -22 = 1 000 000 - 4 = 999 996 例3 随堂训练 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ） A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1 A 3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的 面积，差是_____． 10 4.利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25. (2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 原式＝5×12－5×22＝－15. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 6.计算： 20212 － 2020×2022. 解： 20212 － 2020×2022 = 20212 － (2021－1)×(2021+1) = 20212 － （20212－12 ) = 20212 － 20212+12 =1. 7.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4. (1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝ _____；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝_____； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_____(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_____； 1－xn+1 -63 2n＋1－2 x100－1 (3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝_____； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_____； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝_____． a2－b2 a3－b3 a4－b4 8.给出下列算式: 32－12=8 =8×1； 52－32=16=8×2； 72－52=24=8×3； 92－72=32=8×4. （1） ... ...
