3.1 多项式的因式分解 素养目标 1.知道因式分解的含义,能说出因式分解与整式乘法的互逆关系. 2.会运用整式乘法的逆运算判断多项式的因式分解结果是否正确. ◎重点:因式分解概念的理解以及它与整式乘法之间的关系. 预习导学 知识点一 因式分解的概念 阅读课本本课时“例1”前面的内容,解决下列问题. 1.整数15有因数 和 ,所以15可以分解为 × . 2.由整式的乘法可知,m(a+b+c)=ma+mb+mc,由等式的性质可得ma+mb+mc= . 3.对完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,交换等号两边式子的位置,可得a2±2ab+b2= ,a2-b2= .观察这两个式子,可以发现等号左边是一个多项式,等号右边化成了几个整式的 的形式. 归纳总结 (1)一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f的一个 .此时,h也是f的一个 . (2)一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的 的形式,称为把这个多项式因式分解. 【答案】1.3 5 3 5 2.m(a+b+c) 3.(a±b)2 (a+b)(a-b) 积 归纳总结 (1)因式 因式 (2)乘积 知识点二 因式分解及其检验 阅读课本本课时“例1”和“例2”,解决下列问题. 1.由“例1”可知,一个多项式因式分解后的结果必须是整式的 的形式. 2.由“例2”可知,检验因式分解是否正确,只要看等式右边的几个多项式的 与左边的多项式是否相等. 归纳总结 多项式的因式分解结果必须化成几个整式的 的形式,并且因式分解是一个 等式,可以利用 检验因式分解的正确性. 【答案】1.乘积 2.乘积 归纳总结 乘积 恒 整式乘法 对点自测 1.多项式x2-x的一个因式是 ( ) A.x B.x2-1 C.x+1 D.x2 2.下列各式中,因式分解正确的是 ( ) A.a2+b2=(a+b)(a+b) B.-a2-b2=(-a+b)(-a-b) C.-a2+b2=(-a-b)(-a+b) D.b2-a2=-(a+b)(a-b) 【答案】1.A 2.D 合作探究 任务驱动一 因式分解的判断 1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是 ( ) A.6a2b2=3ab·2ab B.2x2+8x-1=2x(x+4)-1 C.a2-3a-4=(a+1)(a-4) D.a2-1=aa- 方法归纳交流 因式分解是对 来说的,结果要以 的形式表示,每个因式必须是 ,等号左右两边是 的. 【答案】1.C 方法归纳交流 多项式 乘积 整式 相等 任务驱动二 利用因式分解求字母的值 2.如果把多项式x2-3x+n分解因式得(x-1)(x+m),那么m= ,n= . 方法归纳交流 若多项式f有因式g,则当g=0时,有f= . 【答案】2.-2 2 方法归纳交流 0 任务驱动三 检验因式分解是否正确 3.检验下列因式分解是否正确. (1)2x2-y2=(2x+y)(2x-y); (2)5x2-3xy+x=x(5x-3y); (3)9x2-6x+1=(3x-1)2. 【答案】3.解:(1)因为(2x+y)(2x-y)=4x2-y2≠2x2-y2, 所以因式分解2x2-y2=(2x+y)(2x-y)不正确. (2)因为x(5x-3y)=5x2-3xy≠5x2-3xy+x, 所以因式分解5x2-3xy+x=x(5x-3y)不正确. (3)因为(3x-1)2=9x2-6x+1, 所以因式分解9x2-6x+1=(3x-1)2正确. 任务驱动四 因式分解与整式乘法的关系及应用 4.观察下列几个算式: m(a+b+c)=ma+mb+mc,ma+mb+mc=m(a+b+c); (a±b)2=a2±2ab+b2,a2±2ab+b2=(a±b)2; (a+b)(a-b)=a2-b2,a2-b2=(a+b)(a-b). 由此我们可以知道因式分解与整式乘法是互逆的关系,那么逆用整式的乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢 当然可以,而且也很简单. 如:(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3); (2)x2-4x-5=x2+(1-5)x+1×(-5)=(x+1)(x-5). 请你仿照上述方法,把多项式x2-7x-18分解因式. 【答案】4.解:x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)×2=(x-9)(x+2). 2 ... ...
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